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Beitrag |
    
Lilo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. März, 2002 - 10:03: | 
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Hallo,
Zur Lösung der folgenden Aufgabe benötige ich Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
Durch den Schnittkreis der Kugel
K: x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y - 4z = 0 mit der Ebene
E: 4x + 2y + 2z – 5 = 0 gehen weitere Kugeln.
Man ermittle die Gleichungen der beiden Kugeln der
Schar, welche die (x,y)-Ebene berühren.
Man weise nach, dass der Mittelpunkt der
Verbindungsstrecke der Berührungspunkte in der
Ebene E liegt .
Für jede Hilfe bin ich dankbar !
mfG
Lilo
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. März, 2002 - 12:43: |
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Hi Lilo,
Jede Kugel der Schar kann durch die folgende Gleichung
erfasst werden:
x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y - 4z + k* [4x + 2y + 2z – 5] = 0
Dabei spielt die reelle Zahl k die Rolle eines Parameters
und variiert von minus unendlich bis plus unendlich.
Für k = 0 entsteht die gegebene Kugel K , für 1/ k = 0
die gegebene Ebene E.
Es handelt sich übrigens um ein so genanntes Kugelbüschel.
Die Gleichung der Schar wird zunächst geordnet:
x^2+y^2+z^2+2(2k+3)x+2(k-1)y +2(k-2)z – 5k =0
Wir ermitteln die Koordinaten xM,yM,zM und den
Radius R einer allgemeinen Kugel Kk des Büschels
durch quadratische Ergänzung ; das geht so:
[x +(2k+3)]^2+[y +(k-1)]^2 +[z + (k-2)]^2 =
5k +(2k+3)^2 +(k-1)^2 + (k-2)^2 , vereinfacht:
[x +(2k+3)]^2+[y +(k-1)]^2 +[z + (k-2)]^2 =
6 k^2 + 11 k +14
In dieser Kugelgleichung lesen wir die Koordinaten
xM, yM, zM des Mittelpunktes und den Radius R ab:
xM = - (2k+3) , yM = - (k-1) , zM = - (k-2)
R^2 = 6 k^2 + 11 k +14
Nun formulieren wir die Berührungsbedingung einer
solchen Kugel mit der (x,y)-Ebene z = 0.
Wir verlangen:
(zM) ^2 = R^2, also
(k-2)^2= 6 k^2 + 11 k +14 oder
k^2 + 3 k +2 = 0 ,daraus:
k1 = - 2, k2 = - 1 .
Mit diesen k-Werten erhalten wir die Mittelpunkte
M1,M2 der gesuchten Kugeln und ihre Radien R1,R2.
M1(1/3/4) , R1 = 4
Gleichung der Kugel k1:
(x-1) ^ 2 + (y-3) ^ 2 + (z-4 )^ 2 = 16 oder
x^2 + y^2 + z^2 –2x – 6y – 8z + 10 = 0
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M2(-1/2/3) , R2 = 3
Gleichung der Kugel k2:
(x+1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 + (z-3 )^ 2 = 16 oder
x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 6z + 5 = 0
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Aus den Koordinaten der Mittelpunkte erhalten wir
unmittelbar die Koordinaten der Berührungspunkte
T1 , T2 der Kugeln mit der Ebene z = 0:
Erste Kugel, Berührungspunkt T1:
x T1 = x M1 = 1
y T1 = y M1 = 3
z T1 = 0
Zweite Kugel, Berührungspunkt T2:
x T2 = x M2 = -1
y T2 = y M2 = 2
z T2 = 0
Nun bestimmen wir den Mittelpunkt Z der Strecke T1T2 :
xZ = ½(1-1) = 0, yZ = ½ (3+2) = 5/2 , zZ = 0-
Diese Koordinaten erfüllen die Gleichung der Ebene E,
somit liegt Z in dieser Ebene, w.z.z.w.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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