| Autor |
Beitrag |
    
Sigi W.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. März, 2002 - 15:30: | 
|
Hallo
Ich habe hier eine Aufgabe , bei der ich mir
nicht zu helfen weiss . Kann mir jemand bei
der Lösung helfen ?
Die Aufgabe lautet:
Für die Parabel y^2 = 4 x ist die Gleichung
des Krümmungskreises im Punkt P1(1/2)
der Parabel zu bestimmen.
Dieser Kreis hat mit der Parabel einen weitern
Punkt P2(x2/y2) gemeinsam.
Man berechne die Koordinaten von P2.
Vielen Dank im voraus
mfG
Sigi W.
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. März, 2002 - 17:48: |
|
HI Sigi.
Zuerst ermitteln wir mittels impliziter Differentiation
der Parabelgleichung die erste und zweite Ableitung
y´und y´´.
y^2 = 4 x beiderseits nach x ableiten liefert
2 * y * y´= 4 ; daraus folgt y´= 2 / y ;
nochmals beidseitig nach x ableiten ergibt :
y ´´ = - ( 2 y´ ) / y^2
Für den gegebenen Punkt P1(1/2) der Parabel
erhalten wir daraus:
y´ = 1 und y´´= - 2 / 4 = - ½
Die Tangente t in P1 hat die Steigung 1 ,
Die Kurvennormale n in P1 , auf welcher der
Mittelpunkt M des gesuchten Krümmungskreises liegt,
hat die Steigung - 1 .
Nun berechnen wir den Krümmungsradius r in P1
mit der bekannten Formel
r = [1 + y´ ^ 2 ] ^(3/2) / y ´´ und erhalten dafür
nach Vereinfachungen:
r = - 4 * wurzel ( 2 )
Wenn wir den Betrag von r mit 1 / wurzel (2)
Multiplizieren, erhalten wir im Resultat p = 4
gerade die Längen der Projektionen der Strecke
PM auf jede der beiden Koordinatenachsen.
Auf diese einfache Art gewinnen wir die
Koordinaten des Krümmungszentrums M,
nämlich:
xM = 1 + p = 5 , yM = 2 – p = - 2 .
Die Gleichung des gesuchten Krümmungskreises
lautet demnach wegen r = 4 * wurzel ( 2 )
( x – 5 ) ^ 2+( y + 2 ) ^ 2 = 32 , oder
x ^ 2 – 10 x + y ^ 2 + 4 y – 3 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Da der Krümmungskreis mit der Parabel DREI
im Berührungspunkt P1 zusammenfallende Punkte
gemeinsam hat , bleibt genau ein weitere Punkt P2
übrig, der sowohl auf dem Kreis als auch auf der
Parabel liegt.
Suche nach P2(x2/y2):
Setzt man x = ¼ *y^2 aus der Parabelgleichung in die
unterkreiste Gleichung des Krümmungskreises ein,
so entsteht eine Gleichung vierten Grades in y,
nämlich
y^4 – 24 y^2 + 64 y - 48 = 0
Diese Gleichung hat für y = 2 eine dreifache Lösung.
Das Gleichungspolynom links von 0 ist daher durch
(y – 2)^3 = y^3 – 6 y^2 +12 y – 8 ohne Rest teilbar.
Wir setzen das Resultat Q = y + 6 dieser Division null
und erhalten die vierte Lösung :
y = y2 = -6 , der zugehörige x-Wert ist x = x2 = 9
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
|
|
