| Autor |
Beitrag |
    
Rudi Sch.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. März, 2002 - 09:11: | 
|
Hallo,
Leider gelingt es mir auch bei dieser Aufgabe nicht,
die Lösung zu finden.
Kann mir wieder jemand helfen ?
Die Aufgabe lautet:
Welche Fläche schliesst die durch die Parameterdarstellung
gegebene Kurve
x = 3 a*cos t – a*cos3t , y =3 a*sin t – a*sin3t , 0<= t <= 2 Pi
ein ?
MfG
Rudi Sch.
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. März, 2002 - 10:33: |
|
Hi Rudi,
Zur Berechnung der gesuchten Fläche A verwenden wir
wiederum die Leibnizsche Sektorformel.
A = ½ * int [ (x * y° - y * x° ) * dt] ; darin sind
x° und y° die Ableitungen von x = x(t) , y = y(t) nach
dem Parameter t ; Grenzen des Integrals:
untere Grenze 0 , obere Grenze 2*Pi.
Wir erhalten der Reihe nach:
x° = - 3 a * sin t + 3 a sin 3t , y° = 3 a * cos t – 3a *cos 3t
Für f = f(t) = ½ * (x * y° - y * x° ) entsteht nach
Vereinfachungen :
f(t) = - 6 * a^2 * cos t * cos 3t - 6* a^2 sin t *sin3t + 6 * a^2
6* a^2 * [1 – {cos t * cos3t + sin t * sin 3t }] ; mit Hilfe
des Subtraktionstheorems des Kosinus wird daraus schliesslich
f(t) = 6*a^2 - 6* a^2 * cos (t-3t) = 6*a^2 - 6* a^2 * cos ( 2 t )
Durch Integration in den Grenzen t = 0 bis t = 2*Pi entsteht
das Schlussresultat
A= 12 * Pi * a^2 ,
°°°°°°°°°°°°°°°°°
indem nur der erste Summand 6 * a^2 des Integranden f(t)
einen Beitrag gibt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
|
fLo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 15:34: |
|
Aufgabe:
Berechne die Fläche zwischen f(x)=4/x² und g(x)=x²-6x+9.
genaue angabe der schnittpunkte wäre gut.
eigentlich nicht schwer,aber die schnittpunkte sind nicht leicht zu errechnen.... |
alaina (alaina)
Junior Mitglied
Benutzername: alaina
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 09-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 16:53: |
|
Hallo fLo!
Hässliche Aufgabe, die du da hast.
Dabei finde ich die Schnittpunkte noch am einfachsten.
Diese zwei Funktionen haben 3 Schnittpunkte.
Nämlich: (1/4) und (2/1) und (ca.3,56/ca.0,32).
|
wanze
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 17:11: |
|
Hallo flo,
bitte öffne doch für neue Fragen einen neuen Beitrag! |
Heinzi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 02:27: |
|
Gleichsetzen liefert:
x²-6x+9=4/x² |*x²
x4-6x³+9x²=4
x4-6x³+9x²-4 = 0
nun ist bekannt:
x=2 ist Nullstelle von x4-6x³+9x²-4, aber auch x=1 ist Nullstelle.
Also Polynomdivision:
(x4-6x³+9x²-4) x-2) = x³-4x²+x+2
nochmal Poly-div.:
(x³-4x²+x+2)x-1) = x²-3x-2
Nullstellen hiervon sind:
x=(3+sqrt(17))/2 und x=(3-sqrt(17))/2
also etwa
3.56155 und -0.56
wobei die letzte Nullstelle zu keiner von den Graphen beider Funktionen umschlossenen Fläche gehört.
integriere also über die Intervalle
[1;2] und [2;(3+sqrt(17))/2]
wobei erst die Stammfunktion von g(x)-f(x) gebildet wird und beim zweiten die von f(x)-g(x).
|
