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Beitrag |
    
BigGhetiStar
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. März, 2002 - 21:00: | 
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Hallo Leute,
in meinem Mathe-Buch steht, dass ein Vektorraum die Eigenschaft VEKTOR(A)=1*VEKTOR(A) erfüllen muss damit es ein Vektorraum ist. Mann muss das tatsächlich überprüfen und als Axiom immer überprüfen. Weiß jemand, warum das so ist?
MFG
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Martin (martin243)
Junior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. März, 2002 - 10:15: |
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Hi!
Das ist nur eine von mehreren Eigenschaften, die ein Vektorraum haben muss. Der Begriff des Vektorraums ist über bestimmte Eigenschaften definiert, die in einer Menge erfüllt sein müssen.
Genauso gibt es Eigenschaften, die einen Körper, einen Ring, eine Gruppe usw. auszeichnen.
Was du da oben beschreibst, bedeutet nur, dass es für einen Vektorraum ein Element im zugrunde liegenden Körper geben muss, dass bezüglich der Skalarmultiplikation neutral ist (also die Eins des Körpers). Die Frage nach dem Warum erübrigt sich, wenn man einfach auf die Definition eines Vektorraums verweist. |
BigGhetiStar
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. März, 2002 - 19:48: |
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Danke für die Mühe, aber ich verstehe nicht, warum man die Frage nach dem Warum nicht stellen darf. Die Eigenschaften des Vektorraumes hat sich sicherlich irgendwer überlegt und es wird dafür Gründe geben (das man damit toll rechnen kann oder so). Ich verstehe auch einigermaßen die anderen zugrundeliegenden Axiome, die ein Vektorraum haben muss. Aber warum muss die letzte Forderung ebenfalls erfüllt sein? Anders gefragt: Ändert sich irgendetwas an irgendeinem Vektorraum, wenn man die letzte Bedingung weglässt. Gibt es einen Raum, der alle Bedingungen, außer VEKTOR(A)=1*VEKTOR(A), erfüllt? Wenn dies nicht so wäre, so wäre die letze Bedingung überflüssig und sinnlos! Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass jmd. seine Zei mit sowas verschwendet, wenn es tatsächlich unbrauchbar wäre.
MFG
BigGhetiStar |
Martin (martin243)
Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 11:54: |
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Aha, langsam verstehe ich deinen Einwand. Also habe ich mir folgendes überlegt: Der Lehrer konstruiert folgendes Gebilde:
Er nimmt die Menge M = {0, 1, 2, 3, 4, 5} und definiert eine Addition "+" und eine Multiplikation "*" folgendermaßen:
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | | 3 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | | 4 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | | 5 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 | | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | | 4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 | | 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Man sieht leicht, dass Adition und Multiplikation assoziativ und kommutativ sind und das das Distributivgesetz gilt. Außerdem gibt es zu jedem Element a von M eine Element (-a) von M, so dass gilt:
a + (-a) = 0 (additives Inverses)
Auch das Nullelement ist somit vorhanden.
Nun bilden wir (bzw. der Lehrer) den "Vektorraum" M3. Ein aufmerksamer Schüler würde sofort empört aufschreien: "M ist aber kein Körper, also kann M3 kein Vektorraum sein!" Er hätte recht, aber da es keinen aufmerksamen Schüler gibt, macht der Lehrer weiter.
Er überprüft nun, ob alles stimmt:
Die Vektoraddition ist assoziativ, da ja schon die Addition in dem Gebilde M assoziativ war.
Sie ist kommutativ aus demselben Grund.
Das Nullelement ist leicht gefunden: (0, 0, 0)
Die inversen Elemente sind:
-0 = 0; -1 = 5; -2 = 4; -3 = 3; -4 = 2; -5 = 1
Dass das stimmt, sieht man in der ersten Tabelle.
Nun die Skalarmultiplikation:
Sie ist linksassoziativ (a,b aus M, x aus M3):
(a * b) * x = ax + bx
Auch die Distributivgesetze gelten:
a * (x + y) = ax + ay
(a + b) * x = ax + bx
Außerdem gilt ja auch 1*x = x
Fertig! Wir haben einen Vektorraum!
Nein!
Denn die Eins muss eindeutig sein, d.h. die Gleichung mit der Unbekannten a aus M:
a * Vek(x) = Vek(x)
muss eindeutig zu lösen sein.
Und wenn wir das hier betrachten:
a * (3, 0, 3) = (3, 0, 3),
können wir ganz spontan sagen, dass a=1 sein muss.
Aber das ist nicht die einzige Lösung!
Denn auch a=3 führt uns zum Ziel!
Das heißt, wir müssen uns immer davon überzeugen, ob das Einselement 1 auch wirklich eindeutig ist (könnte es sein, dass dein Mathebuch das meinte?)
Allerdings ist dies überflüssig, wenn man den Einwand des aufmerksamen Schülers berücksichtigt, dass M kein Körper ist. Denn dann kann M3 sowieso kein Vektorraum sein.
Und wäre M ein Körper, dann wäre das Einselement unter sonst gleichen Bedingungen (Addition und Multiplikation wie gehabt) eindeutig.
Das war jetzt ein bisschen konstruiert, aber ich weiß, dass Lehrer gerne abstruse Beispiele konstruieren, also nimm mir das nicht übel;-) |
BigGhetiStar
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 15:20: |
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Das brachte schon Licht ins Dunkel. So wird die letzte Bedingung wesentlich klarer, weil unser Lehrer meinte, dass er selber nicht wüsste, wozu die gut sei.
MFG |
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