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Beitrag |
    
Rudi Sch.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. März, 2002 - 16:39: | 
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Hallo,
Leider gelingt es mir nicht, einen Lösungsweg für die
folgende Aufgabe zu finden ; wer kann helfen ?
Die Aufgabe lautet:
Welche Fläche schliesst die durch die Parameterdarstellung
x = a*cos t , y = a^2*(cos t)^2 + a*sin t , 0<= t <= 2 Pi ,
(a eine positive Konstante)
gegebene Kurve ein ?
MfG
Rudi Sch.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. März, 2002 - 19:17: |
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Hi Rudi,
Zur Berechnung der gesuchten Fläche A verwenden wir die
Leibnizsche Sektorformel.
Diese lautet
A = ½ * int [ (x * y° - y * x° ) * dt ; darin sind
x° und y° die Ableitungen von x = x(t) , y = y(t) nach
dem Parameter t .
Wir erhalten der Reihe nach:
y° = - a * sint , y° = - 2* a^2 cos t * sin t + a * cos t .
Für f = f(t) = ½ * (x * y° - y * x° ) entsteht nach Vereinfachungen :
f(t) = - ½ * a^3 (cos t ) ^2 * sin t + ½ * a ^ 2 .
Bei der Integration über den ersten Summanden in den Grenzen
von 0 bis 2*Pi erhalten wir bemerkenswerter weise null.
Merke: Die Funktion z =z(t) = (cos t ) ^2 * sin t ist
bezüglich des Punktes Z(Pi/0) auf der t-Achse
zentralsymmetrisch.
Uebrig bleibt das einfache Schlussresultat
A = Pi * a^2
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Ammerkung
Wir können die Aufgabenstellung etwas verändern
(im Sinne einer Verallgemeinerung), ohne dass sich das
Schlussresultat ändert:
Bei y = y(t) schreiben wir beim ersten Summanden zusätzlich
den Faktor v hin , sodass die Parametergleichung der Kurve so lautet
x = a * cos t , y = v *a^2*(cos t)^2 + a * sin t , 0<= t <= 2 Pi
Für f = f(t) erhalten wir:
f(t) = - ½ * a^3 * v *(cos t ) ^2 * sin t + ½ * a ^ 2 .
Es bleibt dabei :
Bei der Integration über den ersten Summanden in den Grenzen
von 0 bis 2*Pi erhalten wir wiederum null .
Uebrig bleibt das überaus einfache Schlussresultat
A = Pi * a^2
°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Rudi Sch.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. März, 2002 - 07:49: |
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Hallo H.R.Moser,megamath !
Vielen Dank für Deine Lösung; sie hat mir sehr
geholfen
mfG
Rudi
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