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Beitrag |
    
Andi F.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. März, 2002 - 16:18: | 
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Hallo,
Ich bitte um Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe :
Die Gerade g ist durch den Punkt Po(xo/yo/zo)
sowie den Richtungseinheitsvektor r = {a,b,c}
gegeben.
Man berechne die kürzesten Abstände der Geraden g
von den Koordinatenachsen.
Vielen Dank im voraus
Andi F.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. März, 2002 - 17:51: |
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Hi Andi ,
(I)
Berechnung des kürzesten Abstandes dx der Geraden g von
der x-Achse.
Da der Richtungsvektor r von g als Einheitsvektor postuliert
wird, gilt:
a^2 + b^2+ c^2 = 1.................................................................(1)
Wir benützen den Verbindungsvektor v des Nullpunktes O
des Koordinatensystems mit dem Punkt Po auf g
Es gilt
v = OPo = {xo,yo,zo}
Wir benötigen ferner das Vektorprodukt f des Basiseinheitsvektors
e1 = {1;0;0} der x-Achse mit dem Richtungsvektor r :
Die Koordinaten von f lauten:
xf = 0, yf = - c , zf = b, also f = { 0, - c , b }
Multiplizieren wir nun f skalar mit dem Vektor v , so erhalten wir
das gemischte Produkt oder Spatprodukt s = f . v = - c*yo + b*zo
Der gesuchte Abstand dx von der x-Achse ergibt sich als Quotient
von s und dem Betrag abs (f) des Vektors f., also:
dx = s / abs(f) = [ - c*yo + b* zo ] / wurzel (c^2 + b^2)
Wir bilden das Quadrat von dx und erhalten wegen (1):
{dx}^2 = [ b * zo – c * yo ] ^ 2 / ( 1 – a ^2)
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(II) ,(III)
Die beiden andern Abstände dy und dz erhalten wir durch
zyklische Vertauschung ; Ergebnisse wiederum für die Quadrate
der Abstände:
{dy}^2 = [ c * xo – a * zo ] ^2 / ( 1 – b ^2)
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{dz}^2 = [ a * yo – b * xo ] ^2 / ( 1 – c ^2)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. März, 2002 - 08:39: |
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Hi Andi,
Das Resultat lässt sich auch wunderschön mittels dreireihiger
Determinanten darstellen:
In den eckigen Klammern stehen der Reihe nach die
einzelnen Zeilen der Determinante
dx = Det [[a,b,c],[1,0,0],[xo,yo,zo]] / wurzel(1- a^2)
dy = Det [[a,b,c],[0,1,0],[xo,yo,zo]] / wurzel(1- b^2)
dz = Det [[a,b,c],[0,0,1],[xo,yo,zo]] / wurzel(1- c^2)
MfG
H.R.Moser,megamath
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