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v.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 12:28: | 
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Kann mir jemand das folgende Phänomen erklären?!
(Unser Lehrer liebt dieses Zeug!)
Also es werden 100 Würfel gewürfelt und hintereinandergelegt.
Eine Spielfigur steht vor dem ersten: Die Spielfigur wird auf den Würfeln so viele Schritte bewegt, wie der erste Würfel Augen hat -- zum Beispiel 4. Auf dem 4. angekommen wird sie dann so viele weiterbewegt, wie der eben anzeigt. USW.
Entweder kommt die Spielfigur genau auf dem 100. an oder kurz davor -- z.B. auf dem 97. und der zeigt dann vielleicht eine 5. Das geht nicht also werden der 98., 99 und der letzte Würfel einfach weggenommen. Ich hoffe die Regeln sind klar, es wurde ein Pfad definiert bis zum letzten Würfel.
Nun geht es zurück vor den ersten, der ja eine 4 zeigt. Der wird nun neu gewürfelt. Ich wette, daß ich, egal was der erste Würfel anzeigt, immer auf dem letzten ankomme (im Beispiel der 97.). Der erste Würfel könnte übrigens auch eine 8 oder 10 anzeigen, das spielt keine Rolle, es klappt trotzdem!
Warum in aller Welt blos!!!!????????
Danke.
v. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 13:38: |
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Hi v,
wenn die Würfel wirklich gewürfelt werden, hast du wirklich ziemlich große Gewinnchancen mit deiner Wette.
Wenn man die 100 Würfel irgendwie hinlegen darf, dann klappr es nicht immer. Lass z. B. überall die 2 oben liegen. Dann gelangst du zu Würfel Nr. 100. Wenn der erste Würfel jetzt zu 1 geändert wird, dann wird Würfel Nr. 99 und nicht 100 erreicht.
Das Phänomen funktioniert in etwas abgewandelter Form auch mit Spielkarten und ist Grundlage für einen verblüffenden Zaubertrick.
Hier ein Versuch, das Phänomen plausibel zu machen, ohne eine genaue stochastische Berechnung anzugeben.
Die Spielfigur beschreibt, wie du sagst, einen Pfad auf den Würfeln. Z. B. 4, 7, 11, 17, 18, ... wenn die Werte auf dem vierten Würfel 3, auf dem siebten Würfel 4, auf dem elften Würfel 6, auf den 17. Würfel 1, u. s. w. ist.
Wenn der erste Würfel geändert wird, z. B. in 3, dann sieht auch der Pfad anders aus. Etwa 3, 5, 8, 11, ... wenn der dritte Würfel 2, der fünfte Würfel 3, der achte Würfel 3 zeigt. Von hier an trifft aber der zweite Pfad auf den ersten, und es geht identisch wie beim ersten mit 17, 18, ... weiter.
Es wäre nun sehr, sehr unwahrscheinlich, dass der zweite Pfad immer in die Lücken des ersten Pfades springt, sich die beiden Pfade also nicht treffen. Und nur dann kann es passieren, dass du deine Wette verlierst.
Die exakte Wahrscheinlichkeit, wie unwahrscheinlich das ist, ist glaube ich nicht ganz so einfach zu berechnen.
Es ist unwahrscheinlicher als
(5/6)16 = 0,054,
dass sich die beiden Pfade nicht treffen, denn im zweiten Pfad müssen mindestens 16 Schritte gemacht werden, und für jeden Schritt ist die W'keit den ersten Pfad nicht zu treffen kleiner als 5/6. (Der genaue Wert ist noch viel kleiner.) Also gewinnst du mindestens 19 von 20 Wetten. |
v.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 16:11: |
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Hallo Zaph!
Vielen Dank erstmal.Aber wie kommst du denn auf den Wert (5/6)^16????? Und warum ist die Wahrscheinlichkeit kleiner als diese Zahl?
Danke
v. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 17:02: |
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Hi v,
das habe ich versucht, mit dem zweiten Halbsatz zu begründen. Ist wohl etwas misslungen 
Hoffe, du hast den Rest nachvollziehen können.
Hier noch ein Versuch der Begründung von (5/6)^16.
Betrachte bitte wieder mein Beispiel von oben. Wenn der erste Würfel in 3 geändert wird, steht der zweite Spielstein nach dem ersten Schritt auf dem dritten Würfel. Damit der zweite Pfad nicht auf den ersten Pfad trifft, darf auf dem dritten Würfel jetzt weder 1 noch 4 stehen, denn sonst müsste der Spielstein auf den vierten bzw. auf den siebten Würfel wandern. Die W'keit, dass auf dem dritten Würfel weder 1 noch 4 steht, beträgt 4/6.
Wenn dann auf dem dritten Würfel 2 steht, wandert der Spielstein auf den fünften Würfel. Da darf jetzt nicht 2 oder 6 draufstehen. (W'keit = 4/6.)
Wenn auf dem fünften Würfel 3 steht, wandert der Spiestein auf Würfel Nr. 8. Auf dem achten Würfel darf dann nicht 3 stehen. (W'keit = 5/6.)
U. s. w.
Je nachdem, wie der erste Spielstein gewandert ist, gibt es für den zweiten Spielstein bei jedem Schritt immer mindestens eine Position, wo er hingelangen könnte, aber nicht darf, weil der erste Spielstein da mal gewesen ist.
Die W'keit ist also höchstens 5/6, dass der zweite Spielstein den Pfad des ersten nicht trifft. Manchmal auch niedriger, wie eben gesehen.
Um bis ans Ende der Würfelkette zu gelangen, muss der zweite Spielstein mindestens 16 Schritte machen, denn 15*6 = 90 ist die höchste Zahl, die mit nur 15 Schritten erreichbar ist.
Um in diesen 16 Schritten nicht auf den Pfad des ersten Spielsteins zu treffen, ist die Wahrscheinlichkeit also kleiner als (5/6)^16.
Wenn mehr als 16 Schritte gebraucht werden, werden es mehr Faktoren, die W'keit ist dann also noch kleiner.
Man kann erwarten, dass der zweite Spielstein erst in 100/3,5 = 28,6 Schritten am Ziel ist. (5/6)^28 = 0,006 ist ein Wert, der der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit näher kommt, aber auch noch zu groß ist. |
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