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Beitrag |
    
Sebastian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 07:19: | 
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Hy!
Ich brauche die Stammfunktion von folgender Funktion:
1/(a-b*x*x*x)
a,b sind element von R
Danke! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. August, 2000 - 08:02: |
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Hi Sebastian,
Als Stammfunktion zu Deiner Funktion dient die
unten stehende Funktion F(x).
Darin wird für a / b ( b nicht null) die Abkürzung
c ^ 3 verwendet; es gilt also:
a / b = c ^ 3 .
Durch eine aufwändige (!) Rechnung , die ich bei Bedarf
nachliefern kann, kommt:
F ( x ) = - 1 / ( 6 b* c ^ 2 ) * ln [(c - x ) ^ 3 / ( c^3 - x ^3)] +
+ 1 / [b*c^2 * wurzel(3)] * arc tan [(2 x + c ) /(c*wurzel(3))]
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2000 - 07:46: |
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Hallo megamath, bei BRONSTEIN e.a. fand ich ein ähnliches Integral; hoffentlich richtig abgetippt:
integral 1/(d³-x³) dx =
- 1/6d² * ln [(d-x)²/(d²+dx+x²)]
+ 1/d²W(3) * arctan [(2x+d)/d*W(3)]
Besteht ein Zusammenhang? Ich vermute irgendeine Partialbruchzerlegung(?).
Ein angenehmes Wochenende! Franz. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2000 - 20:56: |
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Hallo Franz,
Deine Vermutung trifft zu :
Zur Lösung des Integrals von Hand bezw. mit dem Kopf braucht es
zuerst eine sachgerechte Partialbruchzerlegung:
Es ist zweckmässig, den Nenner so umzuformen, dass er die Gestalt
c ^ 3 - x ^ 3 annimmt, das die angegebene Formel a / b = c ^ 3
bewirkt. Dann wird von der bekannten Faktorzerlegung
c ^ 3 - x ^ 3 = ( c - x ) * ( c ^ 2 + c * x + x ^ 2 ) Gebrauch gemacht.
Es ist übrigens bemerkenswert, dass das Integral auch vom
Computeralgebra-System Maple V und anderen in
wenigen Augenblicken berechnet wird
Der grösste Zeitaufwand benötigt dabeidas Eintippen
des Integranden
Auf vielseitigen Wunsch führe ich die Handrechnung von alpha
bis omega durch:
Es geht um das Integral
K = int [ dx / ( c ^ 3 - x ^ 3 ) ]
(I)
Partialbruchzerlegung des Integranden .
Beim Ansatz beachten wir, dass die quadratische Funktion
x ^ 2 + c * x + c ^ 2 positiv definit ist, weil ihre Determinante
d = c ^ 2 - 4 * c ^ 2 = - 3 * c ^ 2 negativ ist.
Der Ansatz lautet somit
1/(c ^ 3 - x ^ 3) = A / ( c - x ) + [(B*x + D) / (x ^2 + c * x + c ^ 2 )]
Schafft man die Brüche weg, so erhält man die Identität:
( A - B )* x ^ 2 + ( A*c + B*c - D ) + A* c ^ 2 + c * D = 1.
Der Koeffizientenvergleich liefert die Gleichungen
A - B = 0
A * c + B * c - D = 0
A * c ^ 2 + c * D = 1
Die Lösungen sind :
A = B = 1 / ( 3 * c ^ 2 ) , D = 2 / ( 3 * c )..................................(I)
(II) Ein nützliches Integral
Im Lauf der weiteren Berechnungen benötigen wir das folgende
Integral, dessen Auflösung ich im Board bei einer früheren Aufgabe
( für c =1 ) ausführlich dargestellt habe.
Man findet es mit der Suchmaschine unter dem Stichwort
"zweckmässige " unter der weiteren Bezeichnung "H".
Das Integral lautet:
H = int [ dx / ( x ^ 2 + c*x + c ^2 ) =
= 2 / { c * wurzel (3) }* arc tan [ ( 2 * x + c ) / (c* wurzel (3) ) ].. (II)
(III)
Die Berechnung des Integrals K läuft weiter so :
K = - A int [ dx / (x - c) ] + int [ (B*x + D) / ( x^2 + c*x + c^2 ) * dx]
Kunstgriff:
Wir ersetzen im zweiten Integral B* x + D durch
den äquivalenten Ausdruck:
B / 2 * ( 2 * x + c ) + (D - B * c / 2 ) und schreiben für K
drei Integrale:
K = - A* int [dx / (x - c)] + B/2 * int [ (2*x + c) / (x^2 + c*x + c^2) * dx]
+ ( D - B * c / 2 ) * int [ dx / ( x ^ 2 + c * x + c^ 2 ) * dx ]
Die ersten beiden Integrale ergeben Logarithmen ,die wir post festum
noch zusammenfasse werden ,
das letzte Integral ist im wesentlichen das oben zitierte Integral H .
Damit erhalten wir:
K = - A * ln ( x - c) + B / 2* ln ( x ^ 2 + c * x + c ^ 2 )
+ (D - B*c / 2) * [2 / (c * wurzel(3))] * arc tan [(2*x +c)/ (c*wurzel(3))]
Ersetzt man darin A, B ,C durch die Werte nach (I) , so erhält man:
K = - 1 / (3*c^2) * ln ( x - c) - 1 / (6*c^2) * ln [x^2 + c*x + c^2)]
+ 1/ (c^2 * wurzel(3)) * arc tan[(2*x + c) / (c* wurzel(3))],
woraus sich leicht das in meiner früheren Arbeit angegebene Schlussresultat ergibt.
Hallo Franz,
Ich habe die mir selbst aufgeladene Crux endlich zum Ziel geschleppt!
Ab ins Wochenende; auch für Dich alles Gute und beste Erholung !
Freundliche Grüsse
Hans Rudolf Moser,megamath. |
keinenblassen!!!
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 17:43: |
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Ich brauche dringend den Nachweis der Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion!!! |
keinenblassen
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 17:53: |
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Ich brauche dringend den Nachweis der Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion!!! Danke |
Kuranih
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 19:32: |
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Neue Frage - neuer Beitrag. |
cleo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 19:43: |
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Wie lautet der Beweis für die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus? |
cleo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 04:52: |
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Ich benötige immer noch den Beweis der Stammfunktion des natürlichen Logarithmus!!! Hilfe!!! |
Konrad
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 11:51: |
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Hilfe,
Wie kann ich feststellen ob die
Summe[(3n+1)/2^n] konvergiert oder nicht?
Stichwort Quotiententest. |
Go
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 21:53: |
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Hallo Leute,
bitte macht NEUE BEITRÄGE auf, wenn es nicht zur Ausgangsfrage paßt. Wenn 5 Fragen in einem Thread landen, blickt bald keiner mehr durch.
Go |
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