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flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 13:40: | 
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Eine Parabel 2. Ordnung geht durch 0 und hat ihren Scheitel auf der Geraden g(x)=4-x im 1. Feld. Sie schließt mit der x-Achse eine möglichst große Fläche ein.
Mein Ansatz:
f(x)=ax²+bx+c
f'(x)=2ax+b
f''(x)=2a
f(0)=0 => c=0
wie muß ich jetzt weiter machen? Schnittpunkte mit der Geraden berechnen? |
Berta
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 22:27: |
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Im Scheitel ist f'=-1 (gleiche Steigung wie bei der Geraden).
Weiters mußt du die Flächeneigenschaft noch berücksichtigen! |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 16:20: |
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OK Vielen Dank, ich werd mich mal dransetzen |
Steffi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 19:22: |
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Hallo flo und Berta,
Moment, Moment, Moment!!!
Zunächst einmal zu Berta: im Scheitel kann die erste Ableitung nicht -1 sein, sondern sie ist IMMER Null, denn ein Scheitelpunkt hat immer eine waagrechte Tangente (Steigung Null). Es heißt in der Aufgabe ja nicht, dass die gesuchte Parabel die Gerade g(x) = 4-x im Scheitel berührt (denn das geht ja gar nicht) sondern der Scheitel liegt AUF der Geraden g.
Weiter geht's: Wir haben also
f(x) = ax² + bx
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a
Der Scheitelpunkt liegt auf der Geraden g(x) = 4-x. Wenn wir den x-Wert xs nennen, dann kann man den y-Wert ys deshalb auch als 4-xs darstellen.
Den Scheitelpunkt kann man also so darstellen: S(xs | 4-xs )
Die allgemeinen Scheitelpunktskoordinaten einer Parabel 2. Ordnung (siehe auch Scheitelpunktsform) lauten
Sallg(-b/(2a)|-(b²-4ac)/(4a)).
In unserem Fall vereinfacht sich das etwas, da c= 0 ist. -4ac fällt dann weg: S(-b/(2a)|-b²/(4a)).
Wir haben also 2 Darstellungen für unseren Scheitelpunkt:
S(xs | 4-xs ) und S(-b/(2a)|-b²/(4a))
Die Ausdrücke für die x-Koordinate und die für die y-Koordinate kann man jeweils gleichsetzen:
xs = -b/(2a
und
4-xs = -b²/(4a)| + b²/(4a) + xs
xs = 4 + b²/(4a)
Gleichsetzen:
-b/(2a) = 4 + b²/(4a) | · 4a
-2b = 16a + b² | - b²
16a = - b² - 2b | : 16
I. a = (- b² - 2b)/16
Die gesuchte Parabel soll außerdem mit der x-Achse eine möglichst große Fläche F einschließen:
òx1 x2 f(x)dx = max. wobei x1 und x2 die beiden Nullstellen sind.
x1 kennen wir bereits (Ursprung), x2 muss berechnet werden:
0 = ax² + bx
0 = x*(ax + b) -> x1 = 0
0 = ax + b
x2 = -b/a
Einsetzen:
ò0 -b/af(x)dx
= ò0 -b/a(ax²+bx)dx
= [(ax³)/3 + (bx²)/2] (von 0 bis -b/a)
= -(a*b³)/(3*a³) + (b*b²)/(2*a²)
= -b³/(3a²) + b³/(2a²)
Diese Integral können wir als Funktion von b betrachten:
F(b) = -b³/(3a²) + b³/(2a²)
Für a können wir den Term einsetzen, den wir bei den Scheitelpunktsberechnungen errechnet haben (Gleichung I.):
F(b) = -b³/[3*((-b²-2b)/16)²] + b³/[2*((-b²-2b)/16)²]
F(b) = 256b³/(b4+4b³+4b²) * (-1/3+1/2)
F(b) = 256b/(b²+4b+4) * (1/6)
F(b) = 128b/[3*(b²+4b+4)] = 128b/(3b²+12b+12)
Um die maximale Fläche zu erhalten, müssen wir von F(b) die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen:
F'(b) = [18*(3b²+12b+12) - 128b*(6b+12)]/(3b²+12b+12)²
F'(b) = [384b²+336b+336-768b-336]/ (3b²+12b+12)²
F'(b) = (-384b²+336b)/(3b²+12b+12) (schwitz ;-) )
F'(b) = 0
0 = -384b²+336b (bei einer Bruchfunktion genügt es, den Zähler gleich Null zu setzen, denn wenn dieser gleich Null ist, dann ist auch der gesamte Bruch gleich Null)
0 = b*(-384b+336) (b1 = 0)
0 = -384b + 336 |+384b
384b = 336 |:384
b = 7/8
I. a = (- b² - 2b)/16
a = (-7²/8²-7/4)/16
a = -(49/64+7/4)/16
a = -(49/64+112/64)/16
a = -161/1024
Die gesuchte Funktion lautet also
f(x) = -161/1024x²+7/8x
Liebe Flo, falls es dir irgendwo zu wenig Erklärungen sind, dann frag' bitte nochmal nach.
Steffi |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. August, 2000 - 05:28: |
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Danke Steffi! Ich schau es mir mal an, wenn ich noch fragen hab meld ich mich wieder!!!
Flo |
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