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Beitrag |
    
Ivona
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 12:57: | 
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Hi!
Ich habe Matrizen mit einer Unbekannten noch nie gerechnet. Könnte mir jemand folgende Aufgabe lösen bzw. erklären?
(a) Für welchen Wert t hat die Matrix Eigenwert null?
( t| 0| 1 )
A=( 0|-2| 0 )
( 1| 0|-3 )
(b) Ist A für t=-1 positiv definit, negativ definit oder indefinit?
Vielen Dank im voraus!!!
Schöne Grüße
Ivona |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 14:23: |
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Hallo Ivona,
Man rechnetmit dem Buchstaben t genauso wie mit Zahlen.
|t 0 1|
A= |0 -2 0| Davon suchen wir nun Eigenwerte
|1 0 -3|
Wir ziehen von den Diagonalelementen lambda (ich schreibe L) ab:
|t-L 0 1|
|0 -2-L 0| von dieser Matrix bilden wir die Determinante
|1 0 -3-L| und setzen sie null: dies ergibt die
charakteristische Gleichung:
Det = 6t+5tL+tL²-5L-5L²-L³+2 = 0
Wir lösen nun diese charakteristische Gleichung nach L auf:
L1=2 und L2=-3/2+½t+½Ö(t²+6t+13) und
L3=-3/2+½t-½Ö(t²+6t+13)
Dies sind die 3 Eigenwerte der Matrix A.
t soll so gewählt werden, dass diese Eigenwerte Null sind:
Für L1 und L3 ergibt sich keine Lösung.
L2=0 ergibt t=-1/3
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Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 14:44: |
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Hallo Ivona,
es geht noch weiter:
Für t=-1 lautet die Matrix
|-1 0 1|
A= | 0 -2 0|
| 1 0 -3|
Für diese Matrix kannst du nun nach dem gleichen Schema wie oben die
Eigenwerte bestimmen.
Die Matrix heißt: positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind.
negativ definit, wenn alle Eigenwerte negativ sind.
indefinit, wenn Eigenwerte sowohl positiv als auch negativ sind.
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In unserem Fall ergeben sich die drei Eigenwerte zu:
-2
-2+ Ö(2)
-2- Ö(2)
Sie sind also alle 3 negativ.
Die Matrix A ist für t=-1 negativ definit
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