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Beitrag |
    
Joachim Damm (Joda)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 11:44: | 
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Kniffliges und komplexes Problem:
Gegeben sind drei Punkte A,B,C die eine Ebene beschreiben. Zusätzlich beschreiben die Punkte einen Kreis auf dieser Ebene.
(Ich gehe davon aus das B auf der Kreisbahn zwische A und C liegt)
Gesucht wird eine Funktion f(x) mit x aus [0,1], die folgende Punkte liefert.
f(0) = A
f(1) = C
sonst: die Punkte im Raum, die auf der Kreisbahn zwischen A und C in der Ebene ABC verlaufen.
Für Lösungen und Ansätze wäre ich dankbar. |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 21:43: |
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Zur Beschreibung der Punkte gehören drei (in der Ebene zwei) Koordinaten; das geht mit einer Funktion f allein nicht. Ich würde zuerst die zugehörige Ebene E bestimmen, in dieser Ebene die Kreismitte M. In dem Koordinatensystem mit M als Ursprung und A auf der x-Achse lassen sich die Kreispunkte in Polarkoordianten schreiben. r=MA, phi (f) als Parameter und wegen der Forderung f(1)=C; f(t)=t*Winkel(AMC). Für die Darstellung im ursprünglichen System müßte eine mehrstufige Koordinaten-Rücktransformation erfolgen. (Vielleicht läßt sich der Aufwand verringern bei Kenntnis weiterer Zusammenhänge.) F. |
Joachim Damm (Joda)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 09:12: |
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Sorry, Vielleicht hätte man sagen sollen, daß
die Punkte A,B und C Tripel sein sollen ;-)
Weitere Details:
Die Punkte A,B und C sind für jedes f(x) fix.
Vielleicht besser als f_ABC(x) formuliert.
Das Intervall [0,1] habe ich nur aus Gründen einer Normierung gewählt.
Genau das Problem mit der Koordinatentransformation bereitet mir Kopfzerbrechen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 10:04: |
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Hi Joachim,
Wie schon Franz zu Recht bemerkte, benötigt die Lösung
Deiner Aufgabe gewisse Vorbereitungen , die allerdings
zum Teil aus Routineaufgaben der analytischen Geometrie
des Raumes und der Vektorrechnung bestehen
Die Schritte zur Lösung sind die folgenden :
(1) Bestimmung der Koordinatengleichung der Ebene E,
welche durch die Punkte A,B,C bestimmt ist.
(2) Ermittlung des Mittelpunktes M(xo/yo/zo) und des
Radius r des Kreises k , der durch A,B,C geht
(k ist der Umkreis des Dreiecks ABC)
(3) Berechnung der Koordinaten des Verbindungsvektors
u = AM der Punkte A und M
(4) Ermittlung eines Vektors v mit folgenden Eigenschaften:
v hat denselben Betrag wie u, nämlich r
v ist zu u senkrecht und zur Ebene E parallel.
(5) Aufstellen der gesuchten Parametergleichung des
Kreises k mit dem provisorischen Parameter s;
diese lautet mit P(x/y/z) als laufendem Punkt auf k
und den Koordinaten ux,uy,uz und vx,vy,vz der
Vektoren u bezw. v
x = xo + ux * cos (s) + vx * sin (s)
y = yo + uy * cos (s) + vy * sin (s)
z = zo + uz * cos (s) + vz * sin (s)
(6) Justierung des Parameters :
neuer Parameter t so, dass gilt
für t = o erhält man den Punkt A,
für t = 1 den Punkt B
Dies geschieht durch eine einfache Transformation s = c*t
mit einer noch zu bestimmenden Konstanten c
In einer Fortsetzung dieser Arbeit werde ich, sofern Bedarf
vorhanden ist, auf die einzelnen Punkte näher eingehen
und das folgende Zahlenbeispiel vorrechnen .
Gegeben : A ( 3 / 0 / 1 ), B ( 3 / 4 / - 3 ), C ( -1 / 2 / -1 )
Gesucht : Parameterdarstellung des Umkreises k des Dreiecks
ABC
Empfehlung: Man löse die Aufgabe Schritt für Schritt nach
obiger Eselsbrücke, auch "pons asinorum" genannt.
In Erwartung einer Rückmeldung grüsst inzwischen
H.R.Moser,megamath. |
Joachim Damm (Joda)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 11:32: |
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Zunächst danke !
Klingt soweit plausibel.
Vielleicht zur Historie dieses Problems.
Ich spiel gerne mit 3D-Animationen und hätte
gerne eine Funktion, die mir die Bahnkoordinaten eines Körpers X_t in einem normierten Zeitraum t aus [0,1] liefert, wobei A der Start-, C der End- und B ein Zwischenpunkt sein sollen.
Der Weg ist mir nun deutlicher geworden.
Läßt sich das Problem eventuell mit einer großen
zusammengefaßten Matrix lösen ? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 15:16: |
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Hi Joachim,
Zur Parameterdarstellung eines Kreises im Raum möchte ich noch
einige Ergänzungen anbringen
Es kann ja sein, dass man die Aufgabe zu Repetitionszwecken
der Analytischen Geometrie und Vektorrechnung heranziehen möchte.
Ich behalte die Numerierung meiner früheren Arbeit bei
Zu (1)
Um die Koordinatengleichung der Ebene E zu bekommen,
ermittelt man am besten einen Normalenvektor n von E
als Vektorprodukt der Vektoren AB und AC
( hier: Schreibweise ohne Vektorpfeile),
und man erhält daraus die Koeffizienten von x , y , z
in der Ebenengleichung ; dann sorgt man bei der Wahl des
konstanten Gliedes, dass E durch einen der gegebenen Punkte geht.
Zu (2)
Man bestimmt die Mittelnormalebenen je zweier der Dreiecksseiten
AB, BC , CA .
Diese Ebenen bilden ein Ebenenbüschel
(gemeinsame Schnittgerade s als sogenannte Achse des Büschels)
Es genügt, zwei solche Ebenen mit wohlbekannten Methoden
zum Schnitt zu bringen
Der Durchstosspunkt von s mit E ergibt den Mittelpunkt Mo
des gesuchten Kreises.
Der Radius r stimmt mit den Abständen der Punkte
Mo A, Mo B, Mo C überein ( Kontrollmöglichkeit ! )
Zu (3)
Der Vektor u ergibt sich unmittelbar als Verbindungsvektor
der Punkte A und Mo : u = A Mo
Zu (4)
Um den Vektor v zu erhalten, bestimmen wir zunächst das
Vektorprodukt p = u x n von u und dem Vektor n
der Ebenennormalen.. Dann strecken oder stauchen wir ihn
zur Länge r:
v = r * [1 / abs (p) ] * p .
Nun lassen sich die drei Parametergleichungen mit s als
Parameter gemäss meinen früheren Angaben aufstellen.
Für das Erwähnte Zahlenbeispiel folgen die Resultate:
Ebene E : y + z -1 = 0
Mittelpunkt M( 2 / 2 / -1 ) , Radius r = 3
Vektor u = A M = { 1 ; - 2 ; 2 }
Vektor v = 1 / wurzel(2) * { - 4 ; -1 ; 1 }
Gleichung des Kreises:
x = 2 + cos ( s ) - 2 * wurzel (2) * sin ( s )
y = 2 - 2* cos ( s ) - wurzel (2) / 2 * sin ( s )
z = - 1 + 2* cos ( s ) + wurzel (2) / 2 * sin ( s )
Anmerkung
Für s = 0 erhält man den Punkt A ,
für s ~ 3.821 den Punkt B
Um B zu erhalten, muss die Gleichung
2 + cos(s) - 2 * wurzel (2) * sin(s) = 3 gelöst werden
Wir bekommen: s = arc tan [ 4* wurzel(2) / 7 ] + Pi (!).
Schlussbemerkung
Sind die Vektoren u und v beliebige linear unabhängige
Vektoren der Ebene E , so stellt die analoge
Parametergleichung eine Ellipse dar, deren Mittelpunkt M ist;
die Vektoren u und v stellen dann konjugierte Halbmesser dar.
In diesem Falle sind u und v affine Bilder der senkrechten und
Gleichlangen Vektoren u' und v' beim Kreis.
Schluss der Vorführung !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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