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Beitrag |
    
Timo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 19:44: | 
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Hallo!
Habe Probleme mit folgenden Aufgaben:
a) Zeige, daß folgende Abb. linear sind:
L: R2[x]->R2[x], L: P(x) |-> P(x-2)
L2: s. o. , L2: P(x) |-> P(2)(x²-1)
b) Bestimme die Matrix von L und L2 bezüglich der Standard-Basis (1, X, X²)
c) Bestimme Rang(L) und Kern(L)
Bei a): L1 und L2 dürften nicht linear sein, weil
L1: F(0)= -2, also ungleich 0;
L2: F(0)= 2(-1) = - 2, also auch ungleich 0, oder?
bei b) Hab ich keinen blassen Schimmer, wie man da auf ne Matrix kommen soll...
c) tja...
Vielen Dank... |
Julia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 20:51: |
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Hi Timo!
Eine Abbildung L:V->W zwischen Vektorraeumen V und W ueber einem Koerper K ist linear, wenn
1) L(f + g) = L(f) + L(g) fuer f und g aus V
2) L(c*f) = c*L(f) fuer f aus V und c aus K gilt.
Sollen R2[x] die Polynome vom Grad <=2 sein??
Wenn ja, dann kannst Du so ein allgemeines Polynom schreiben als p1=a1*x^2 + b1*x +c1. Wir nehmen ein zweites Polynom p2 her und eine reelle Zahl c. Dann ist
L(p1+p2) = L(a1*x^2 + b1*x +c1 + a2*x^2 + b2*x + c2) = a1*(x-2)^2 + b1*(x-2) + c1 + a2*(x-2)^2 + b2*(x-2) + c2 = L(p1) + L(p2)
und
L(c*p1) = L(c*(a1*x^2 + b1*x + c1)) = c*(a1*(x-2)^2 + b1*(x-2) + c1) = c*L(p1)
also ist L linear.
Ebenso fuer L2:
L2(p1 + p2)=L2(a1*x^2 + b1*x +c1 + a2*x^2 + b2*x + c2)=(a1*4 + b1*2 + c1 + a2*4 + b2*2 + c2)*(x^2-1) = (a1*4 + b1*2 + c1 )*(x^2 - 1) + (a2*4 + b2*2 + c2)*(x^2-1) (distributiv) = L2(p1) + L2(p2) und
L2(c*p1) = L2(c*(a1*x^2 + b1*x + c1)) = c*(a1*4 + b1*2 + c1)*(x^2-1) = c * L2(p1)
Also ist auch L2 linear.
Die Spalten der Matrix sind immer die Bilder der Basisvektoren. Vorsicht, das Ergebnis unter der Abbildung ist wieder eine Funktion, mit 1 ist die Funktion f(x) =1 gemeint, die also fuer alle x den Wert 1 annimmt!!):
L(1) = 1
L(x) = x-2 = 1*x - 2*1 (ausgedrueckt in der Basis)
L(x^2) = (x-2)^2 = 1*x^2 - 4*x + 4*1
Also lautet die Matrix
1 -2 4
0 1 -4
0 0 1
Fuer die zweite Abbildung:
L2(1) = 1*(x^2 - 1) = 1*x^2 - 1*1
L2(x) = 2*(x^2 -1) = 2*x^2 - 2*1
L2(x^2) = 4*(x^2 - 1) = 4*x^2 - 4*1
Also lautet die Matrix
-1 -2 -4
0 0 0
1 2 4
c) Der Rang ist die maximale Anzahl linear unabhaengiger spalten (oder Zeilen, das ist egal) der Matrix. Der Kern ist die Menge aller Vektoren,die auf Null (also hier die Nullabbildung) abgebildet werden. Ausserdem ist die Dimension des Kernes plus der Rang gleich der Dimension des Vektorraumes V, hier 3.
Wir berechnen zunaechst den Kern von L:
L(a*x^2 + b*x + c ) =0
<=> a*(x-2)^2 + b*(x-2) + c =0
<=> a*x^2 + (b-4a)*x + (4a-2b + c) =0
<=> a = 0 und (b-4a) =0 und (4a-2b+c) =0
<=> a =0 und b=0 und c=0.
Der Kern ist also nur das Nullpolynom (Dimension Null, ist ja schliesslich nur ein Punkt) und deshalb muss der Rang 3 sein (3+0 = 3).
Fuer L2:
L2(a*x^2 + b*x + c ) =0
<=>(4a+ 2b + c)*(x^2 - 1) = 0
<=>(4a + 2b + c) =0
<=> a,b \in \R und c = -4a-2b
Das ist also ein Vektorraum der Dimension zwei (Du kannst a und b frei waehlen), mit Basis
x^2 - 4, x-2
Hilft das?
Ach ja, der Rang ist dann 3 - Dimension des Kerns = 3-2 =1 . Kann man auch daran sehen, dass alle Spalten linear abhaengig sind.
Julia |
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