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Stiftpritt
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 11:49: | 
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Hallo, kann mir vielleicht jemand bei der folgenden Aufgabe helfen ?
Für welchen Wert s besitzt das Gleichungssystem
a) keine Lösung
b) genau eine Lösung
c) unendlich viele Lösungen ?
(3+s)x-y-3z=-2
5x+(s-2)y-4z=-1
3x-y+(s-3)z=-3
Danke im voraus für Eure Hilfe
Alexander |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 13:16: |
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Hi Stiftpritt,
Bei der Lösung des von Dir vorgelegten Gleichungssystems
muss man sehr sorgfältig und systematisch vorgehen.
Damit Du einen Ueberblick schon am Anfang gewinnen kannst,
stelle ich zuerst das Schlussresultat auf
Es lautet:
a) Für s = 0 hat das System keine Lösungen
Die Gleichungen lauten in diesem Fall:
3x - y - 3z = -2
5x -2y - 4z = - 1
3x - y - 3z = - 3
Du siehst: die erste und die dritte Gleichung widersprechen sich.
b) Die Gleichung hat genau eine Lösung für alle s-Werte,
ausgenommen für s= 0 und s= 1.
c) für s = 1 gibt es unendlich viele Lösungen
Das System lautet in diesem Fall,
wenn man alle drei Gleichungen auf null bringt:
4x - y - 3z + 2 = 0
5x - y - 4z + 1 = 0
3x - y - 2z + 3 = 0
Die Gleichungen sind abhängig, wie man sofort erkennt:
Subtrahiert man nämlich die zweite Gleichung vom
Zweifachen der ersten, so erhält man die dritte Gleichung.
Zur Auflösung des Systems verwenden wir die Cramersche Regel.
Wir benötigen dazu vier Determinanten und wählen dieselbe
Bezeichnung ,wie Bernd in seiner Arbeit.
D (Haupdeterminente ), Dx, Dy , Dz
Nach Cramer gilt dann:
x * D = Dx , y * D = Dy , z * D = Dz................ ( C )
Die Auswerttung der Determinanten ergibt:
D = s ^3 - 2 * s ^ 2 + s = s * ( s-1) ^ 2
Dx = - 2 * s ^ 2 + 2 = - 2 * ( s + 1 )* ( s - 1 )
Dy = - s ^ 2 - 2 * s + 3 = - ( s - 1 ) * (s + 3 )
Dz = -3 * s ^ 2 + 2 * s + 1 = - ( s - 1 ) * (3 s + 1 )
Fallunterscheidung
1:Fall: D ist nicht null < --- > s ist weder 0 noch 1
Das System hat genau eine Lösung (man kann in ( C ) durch
D dividieren )
2.Fall: D ist null ß--à s = 0 oder s = 1
dies führt auf dieUnterfälle A) und B)
A) s = 0: nicht alle Determinanten Dx, Dy, Dz sind für diesen
s-Wert null (es gilt für s = o: Dx = 2 usw)
Das System ist widersprüchlich: keine Lösung
B) s = 1: alle drei Determinanten Dx , Dy , Dz sind null
wie man sofort nachrechnet;
das System hat unendlich viele Lösungen ( x = 0/0 etc.)
Mit freundlichen Grüßen
H,R.Moser,megamath |
Alexander (Stiftpritt)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 10:03: |
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Vielen Dank !!!
Das hätte ich allein nie hinbekommen... |
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