| Autor |
Beitrag |
    
Marcus
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2000 - 15:11: | 
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Habe Probleme mit der Normalenform und suche daher eine möglichst einfache und übersichtliche Darstellung. Mir geht es dabei auch vor allem um die Berechnung des Abstandes einer Ebene vom Ursprung und zweier Ebenen voneinander.
Optimal wäre zunächst eine Erklärung der Hesschen Normalenform und auch ein Bsp. zur Berechnung eines Abstandes mit der Hilfe dieser Normalenform. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2000 - 18:48: |
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Hi Marcus,
Bevor ich Dir einen Beweis der Hesseschen Formel vorführe.
soll ihr mechanischer Gebrauch an einigen Beispielen
gezeigt werden:
(1) Gegeben wird die Ebene E durch die Koordinatengleichung
E : x - 2 * y - 2 * z = - 4. Ferner sind vier Punkte durch ihre
Koordinaten gegeben:
P( 5 / 1 / - 1) , Q ( - 2 / 1 / 0 ) , O (0 / 0 / 0 ) , R ( - 2 / 1 / 2 )
Berechne mit Hesse die Abstände d1,d2,d3,d4 dieser Punkte
von E
Lösung
Zuerst bringen wir die Gleichung von E auf null:
x - 2 * y - 2 * z + 4 = 0 .
Dann dividieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit dem
Hesse-Divisor H = wurzel [ 1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 ] = 3
und erhalten so die Hessesche Normalform (HNF) der
Ebenengleichung ( nach Ludwig Otto Hesse,1811-1874 ) .
Nota bene: Im Radikand der Wurzel steht die Quadratsumme
der Koeffizienten bei x , y , z in der Ebenengleichung
also: HNF von E: ( x - 2 * y - 2 * z + 4 ) / 3 = 0
Setzen wir in dieser HNF an Stelle von x , y , z die Koordinaten
eines gegebenen Punktes ein, so erhalten wir dessen Abstand von
der gegebenen Ebene. Somit:
d1 = { 5 - 2 * 1 - 2 * (-1) + 4 } / 3 = 3 > 0
d2 = { - 2 - 2 * 1 - 2 * 0 + 4 } / 3 = 0
d3 = { 0 - 2 * 0 - 2 * 0 + 4 } / 3 = 4 / 3 > 0
d4 = { - 2 - 2 * 1 - 2 * 2 + 4 } / 3 = - 4 / 3 < 0
Die Punkte P und O ,deren Abstände positiv sind, liegen zusammen
im selben Halbraum bezüglich E , d.h. auf derselben Seite von E.
In diesen Halbraum weist der Normalenvektor n = {1;-2;-2 }' ,
wenn man diesen mit seinem Anfangspunkt mit einem Punkt von E
zusammenfallen lässt
Der R , dessen Abstand negativ ist, liegt
gerade in der anderen Halbebene.
Der Punkt Q, Abstand null, liegt auf der Ebene
(2) Die beiden folgenden Ebenen E1 und E2 sind parallel; man berechne
ihren Abstand d .
E1 : x - 2 * y - 2 * z + 4 = 0
E2 : x - 2 * y - 2 * z - 8 = 0
Wir wählen einen beliebigen Punkt P auf E1 aus : d ist dann
der Abstand des Punktes P von E2
Ausführung:
Wahl von P : P( -2 / 1 / 0 )
HNF von E2 : ( x - 2 * y - 2 * z - 8 ) / 3 = 0
d = ( - 2 - 2 * 1 - 2 * 0 - 8 ) / 3 = - 4 , das negative Vorzeichen kann
unberücksichtigt gelassen werden, es ist in diesem Zusammenhang
irrelevant.
Relevant hingegen ist die Herleitung der Hesse-Formel.
In einem weiteren Beitrag möchte ich einen Beweis vorführen,
der üblicherweise nicht in Schulbüchern steht
Bis später !
Mit freundlichen Grüßen
H. R.Moser , megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2000 - 22:10: |
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Hi Marcus,
Die allermeisten Beweise in den Schulbüchern benützen explizit
den Begriff des Skalarproduktes und die Richtungswinkel und deren Kosinuswerte des Normaleneinheitsvektors der Ebene E.
Ich möchte Dir einen einfacheren Beweis vorführen
Der Beweis behält seine Gültigkeit auch für die analoge Aufgabe in der
ebenen analytischen Geometrie, wo mit Hesse der Abstand eines Punktes
von einer Geraden berechnet werden soll.
Ohne gewisse Vorkenntnisse Deinerseits geht es allerdings nicht.
Verlangt sind Lösungen zu folgenden Grundaufgaben:
1.Das Aufstellen der Parametergleichung einer Raumgeraden, welche
durch einen Punkt P(u/v/w) geht und eine vorgegebene Richtung hat,
welche durch einen Richtungsvektor r gegeben ist:
rx, ry, rz seien die Koordinaten (Komponenten) von r .
Dann lauten die skalaren Gleichungen in Parameterform :
x = u + t * rx , y = v + t * ry , z = w + t * rz ; der Parameter t
durchläuft alle reellen Zahlen.
2. Die Kenntnis darüber, dass für die Ebene E mit der Gleichung
A* x + B* y + C * z + D = 0 der Vektor mit den Koordinaten A , B , C,
also n = {A;B;C } einen Normalenvektor der Ebene darstellt
3: Wie ermittelt man den Schnittpunkt einer nach 1. bestimmten Gerade
mit einer Ebene E ( Einsetzen der Werte von x , y , z aus 1 .in die
Gleichung von E; Auflösung nach t ) .
4.Wie berechnet man den Abstand d zweier Punkte aus ihren Koordinaten
( wurzel aus der Quadratsumme der Differenzen gleichnamiger Koordinate:
d = wurzel (delta x ^ 2 + delta y ^ 2 + delta z ^ 2) .
Nun zum angekündigten Beweis.
Die Ebene E habe die Gleichung A*x + B*y + C*z + D = 0
Zur Abkürzung werde wurzel (A^2 + B^2 + C^2 ) = H gesetzt
und Hessescher Divisor genannt.
Der Punkt P , dessen Abstand d von E wir berechnen wollen , habe die Koordinaten x = u , y = v , z = w , also kurz: P(u/v/w)
Als eine weitere Abkürzung verwenden wir den Term L
L = A*u + B*v + C*w + D
Idee zur Ermittlung des senkrechten Abstandes d des Punkte P von E:
Wir legen durch P die zu E senkrechte Gerade g und schneiden diese
mit der Ebene E im Punkt S.
d ist dann der Abstand der beiden Punkte P und S :
d = PS.
Der Richtungsvektor r von g stimmt mit dem Normalenvektor n
der Ebene E überein, also r = {A;B;C}'. Somit lautet die
Parametergleichung von g :
x = u + t * A , y = v + t * B , z = w + t * C
( g geht , wie es sein muss, durch P(u/v/w) )
Zur Ermittlung des t-Wertes für den Schnittpunkt S von g mit E
setzen wir diese Werte in die Gleichung von E ein:
A*( u + t*A) + B * (v + t*B) + C* (w + t*C) + D = 0
Daraus können wir t berechnen ; es kommt, unter Verwendung der
Abkürzungen H und L:
t = - ( A*u + B*v + C* w + D ) / H ^ 2 = - L / H ^ 2
Werden die Koordinaten des Schnittpunktes S mit p, q ,r bezeichnet,
so erhält man beim Einsetzen des t-Wertes von soeben
in die Geradengleichung:
p = u - L / H^2 * A, q = v - L / H^2 * B , r = w - L / H^2 * C
Das Abstandsquadrat d ^2 beträgt:
d^2 = (p-u)^2 + (q-v)^2+(r-w)^2 = L^2 / H^4* [A^2+B^2+C^2],
die eckige Klammer ist aber H^2 , sodass d^2 = L^2 / H^2 gilt.
Daraus folgt aber:
d = L / H = (A*u + B*v + C* w + D) / wurzel(A^2 + B^2 + C^2 ),
Ein schöner Beweis ist damit zu Ende geführt,
hoffentlich war er verständlich genug !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Nicole
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 17:00: |
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Ich soll den Abstand zweier paralleler Geraden in R³ ausrechnen! Hab aber nicht die geringste Ahnung wie das im 3 dimensionalem Raum gehen soll, da hier ja die hessische Normalenform nicht gilt! Bitte helft mir! Folgende Aufgabe:
---------( 2)---(-6)
g(1) x = ( 1)+ ~( 1)
---------( 0)---( 1)
---------( 1)---( 2)
g(2) x = ( 0)+ µ(-1)
---------(-1)---( 1)
Danke!!!! |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 11:48: |
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Hallo Nicole,
Die beiden angegebenen Geraden sind nicht parallel. |
Danny18
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 17:37: |
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Hallo, ich hab da n Problem, und zwar:
Gegeben sind die beiden Geraden g:x=(3/7/-3) und h:x= (-1/-5/10) + s(2/2/3)
A) Zeige, dass g und h windschief sind
B) Berechne den Abstand von g und h
Habe absolut keine Ahnung wie ich das lösen soll, würde mich freuen wenn ihr mir schnellsmöglichst helfen könntet, schreibe da nämlich n Klausur drüber!! Danke!! |
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 17:59: |
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