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Aidt
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. August, 2000 - 19:48: | 
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Gegeben seien zwei Strecken im Raum AB und CD, deren Endpunkte XaYaZa, XbYbZb, XcYcZc und XdYdZd bekannt sind.
Man stelle sich diese Strecken als zwei Stäbe im Raum vor, an deren Enden jeweils Haken befestigt sind.
Gesucht wird die kürzeste Verbindung zwischen diesen Strecken.
Man stelle sich ein Gummiband vor, das über die Mittelpunkte der beiden Stäbe gelegt wird. Gesucht sind die Koordinaten der Endpunkte des Gummibandes.
Man beachte, daß beide Strecken in beliebigen Winkel zueinander stehen können, also z.B. auch in einer Linie. Die Gummibänder bleiben an den Enden der Stäbe wegen der Haken auf jeden Fall hängen. Gesucht wird die allgemeine Formel zur Ermittlung der Endpunkte der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen zwei beliebigen Strecken im Raum, wobei der eine Endpunkt auf der einen, der andere Endpunkt auf der anderen Ausgangsstrecke liegt.
Viel Spaß! |
Tom
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. August, 2000 - 20:46: |
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Man müsste die zwei Stäbe als Kurven im Raum behandeln und durch Parametergleichungen
s1(t1), s2(t2) mit s1(0) := (Xa,Ya,Za),
s1(1) := (Xb,Yb,Zb), s2(0) := (Xc,Yc,Zc),
s2(1) := (Xd,Yd,Zd).
Sei s1:[0,1]->R^3,
t1 |-> (1-t1)*(Xa,Ya,Za)+t1*(Xb,Yb,Zb).
und s2:[0,1]->R^3,
t2 |-> (1-t2)*(Xc,Yc,Zc)+t2*(Xd,Yd,Zd).
Seien P1, P2 Punkte auf den Stäben, dann existieren t1, t2 el. [0,1] mit P1 := s1(t1)
und P2 := s2(t2):
Sei d(t1, t2) := |s1(t1)-s2(t2)| der Abstand
der Punkte P1, P2.
Dann ist dd/dt1(t1,t2) die partielle Ableitung der
Funktion d: [0,1]*[0,1]->R, (t1,t2) |-> d(t1,t2)
im Punkt (t1,t2).Analog dd/dt2(t1,t2).
(i) dd/dt1(t1,t2) := 0 => t1_extr.
(ii)dd/dt2(t1,t2) := 0 => t2_extr.
Auflösen des Gleichungssystems ergibt
(t1,t2)_extr. und damit P1_extr = s1(t1_extr),
P2_extr = s2(t2_extr). Sollten schwere Fehler drin sein, bitte melden |
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