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flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. August, 2000 - 13:29: | 
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die funktion lautet fa(x)=a*cos ((pi/2)x)
lauten die ableitungen wirklich
fa'(x)=-a*sin((pi/2)x)
fa''(x)=-a*(pi/2)² * sin ((pi/2)x)???
und die stammfunltion wirklich
F(x)=a*(pi/2)*sin ((pi/2)x)???
noch was um die ableitung in einem bestimmten punkt zu bestimmen, muß ich dann den x-wert des punktes einsetzen oder den y-wert??? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. August, 2000 - 15:19: |
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Stimmt leider alles nicht.
fa(x)=a*cos((p/2)x)
fa'(x)=-a*(p/2)*sin((p/2)x)
fa''(x)=-a*(p/2)2*cos((p/2)x)
Stammfunktion ist Fa(x)=a*(2/p)*sin((p/2)x)
Zur letzten Frage : Mit "Stelle" ist immer der x-Wert gemeint. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. August, 2000 - 23:51: |
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vielen dank für deine hilfe ingo!!
ich habe jetzt weitergerechnete, bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt. zuerst schreib ich mal die gesamte aufgabenstellungen:
Das Schaubild der Funktion fa(x)=a*cos((pi/2)x) (a element R+), die Normale in A(0|1) und die y-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimmt a so, dass der Flächeninhalt minimal wird.Gib den minimalen Flächeninhalt an.
zuerst habe ich dann die steigung in A(1|0) bestimmt:
(darf ich die eigentlich aufrunden oder wie muß ich das schreiben???)
ich habe rund 0,04 herausbekommen
dann habe ich die normalensteigung berechnet:
m2=-1/m1
<=>m2=-1/0,04=-25
mit der punktsteigungsform habe ich dann die gleichung der normalen berechnet, die würde dann
g(x)=-25x+25 lauten und die Stammfunktion wäre
G(x)=-(25/2)x²+25x
dann weiß ich allerdings nicht, wie die funktion
für die y-Achse lautet, den da muß ich ja auch die Integralfunktion bestimmen oder???
Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob das stimmt oder nicht und mir dadurch weiterhelfen könnte. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. August, 2000 - 12:05: |
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Also am besten wär wohl ne Zeichnung,aber die hab ich leider grad nicht parat. Ich versuch sie heut abend mal nachzureichen.
Die Steigung in (1/0) ist fa'(1)=-ap/2
also lautet die Normale in A
n(x)=(2/(ap))x-2/(ap)
Die gesuchte Fläche setzt sich aus zwei Komponenten zusammen :
1. der Teil zwischen der x-Achse und der Funktion
2. der Teil zwischen der x-Achse und der Normalen
Zusammen erhält man die Flächenformel
A(a) = ò01 fa(x)dx + 1/2*1*(1/(ap))
= Fa(1)-Fa(0)+1/(2ap) |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 13:45: |
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Hy Ingo!
Ich verstehe nicht warum in A(1|0)die Steigung -a(pi/2) ist.
Die erste Ableitung lautet doch fa'(x)=-a*(pi/2)* sin ((pi/2)x).
Und wieso "Teil zwischen der x-Achse und und Funktion"??? Es geht doch um die Fläche die von der Funktion, der y-Achse und der Normalen begrenzt wird oder?
Bei der Flächenformel verstehe ich nicht warum
+(1/2)*1*(1/a*pi)
Könntest du mir das bitte erklären??
Stimmt diese Stammfunktion von n(x):
N(x)=(2/pi*a*2)x² - (2/a*pi)x ??? |
Susi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 14:12: |
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Zur Lösung der Aufgabe ist es nicht nötig, die Steigung der Funktion in A(1|0) zu kennen!
Die Aufgabe erfordert die Steigung in A(0|1).
Dies ergibt nur einen Sinn für a=1.
Die gesuchte Fläche ist dann gleich Null. Dies ist auch die minimale Fläche. |
Georg (Georg)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 15:10: |
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Hi Susi
Flo ist am 2.8. offenbar ein Tippfehler passiert : A(0|1) muss falsch sein, A(1|0) richtig.
Hi Flo
Wenn du xA=1 in fa einsetzt, dann ergibt sich im Sinus p/2 als Argument. Der Sinus von p/2 ist 1 . So kommt man zur Steigung -a*(p/2) .
N(x) stimmt, du kannst aber noch 2 kürzen. Für den Teil der Fläche, der von der Normalen begrenzt wird, brauchst du aber keine Integralrechnung, weil er dreieckig ist. Ein Eckpunkt ist A(1|0) auf der x-Achse, der zweite ist der Ursprung, und der dritte auf der y-Achse entspricht dem Achsenabschnitt der Normalen, also (0|-2/(pa)). Das Dreieck ist also rechtwinklig und seine Fläche 1/2 * Kathete * Kathete. Damit komme ich aber ( im Gegensatz zu Ingo ) auf 1/2 * 1 * 2/(pa) = 1/(pa) |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 20:08: |
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wenn A ein Eckpunkt ist, dann ist es aber kein Dreieck. Denn die Normale schneidet dort nicht die y-Achse. Und die ist doch schließlich auch eine Begrenzung oder nicht?
ich habe für a 1 eingesetzt und damit eine skizze gemacht.
Ich habe jetzt versucht die Schnittpunkte von n(x)
und f(x) auszurechnen.
also:
(2/a*pi)x-(2/a*pi) = a*cos ((pi/2)x)
wie löse ich hier nach x auf??? |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 20:55: |
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Georg ich glaube ich habe kapiert, was du meinst, zudem war mein zeichnug falsch, ich habe für die Normale ein positive statt negative Steigung genommen!!!!
Ich muß also erst die Fläche unter der x-Achse berechnen und dann die über der x-Achse und dann die beiden addieren oder?
Für die Fläche über der x-Achse rechne ich da dann F(x) - N(x) in den Grenzen von 0 bis zum Schnittpunkt von f(x) und n(x)???
Allerdings hab ich ein Problem, bei mir ist A(1|0) kein Punkt von f(x).
Stimmt meine Wertetabelle für a=1:
x=-5 y=0,99
x=-3 y=0,996
x=0 y=1
x=1 y=0,999
x=2 y=0,9993
usw???
Übrigens könnte ich zur Berechnung des Dreiecks unter der y-Achse auch Pythagoras nehmen??
Wieso ist Sinus pi/2 = 1??? Mein Taschenrechner spuckt da was anderes raus! |
Georg (Georg)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 21:27: |
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Anscheinend weiß dein Taschenrechner nicht, dass wir das Argument für cos im Bogenmaß angeben. Ich melde mich gleich noch einmal. |
Georg (Georg)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 21:58: |
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Pythagoras ist unnötig, weil die für die Fläche notwendigen Katheten schon bekannt sind, und sich niemand für die Länge der Hypotenuse interessiert.
Ich bin noch zu neu hier, als dass ich eine Zeichnung liefern könnte.
Setze doch bitte a=2 , damit der Unterschied zum cos deutlich zu sehen ist. Mache dann bitte eine Zeichnung gemäß folgender Wertetabelle :
x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
y 2,0 1,9 1,6 1,2 0,6 0
auch der Rest muss schön wellenförmig sein
x +2 3 4
y -2 0 2
In der Zeichnung ist die Normale eine Gerade durch (1|0) und (0|-1/p)
F(x) - N(x) macht das Durcheinander nur größer. Verwechsle es bitte nicht mit ò0 1(f(x)-n(x))dx . Das ist zwar richtig, hier aber unnötig kompliziert, weil wir zwar F(x) haben, aber nicht die Stammfunktion für f(x)-n(x) .
Die obere Fläche ist F(1) - F(0) , die untere ist ein Dreieck, die Stammfunktion N ist unnötig. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 23:50: |
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So hier also endlich das versprochene Bild. Ich hoffe es trägt zu einem besseren Verständnis bei :
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flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2000 - 10:14: |
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Vielen Danke Ingo!!!
Ich denke die Zeichnung wird mir helfen |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2000 - 23:14: |
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Lautet somit die Formel für die ganze Fläche:
F= 1/(pi*a) + a* sin (pi/2)
???
Ist dieser Weg so richtig:
Ich nenne F einfach mal b(a), bilde dann die erste Ableitung:
b'(a)= ??Ableitung von 1/(pi*a)?? + (2/pi)* sin(pi/2)
Die setze ich dann gleich Null um die Extrempunkte zu berechnen.
Oder etwa nicht??? |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2000 - 23:15: |
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Ich meine um den Minimalen Flächeninhalt zu berechnen.
Der müßte doch theoretisch dann der Tiefpunkt der Funktion b(a) sein oder??? |
Georg (Georg)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2000 - 11:16: |
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Dein Rechenweg stimmt. Mit Ingos Stammfunktion vom 1.8. komme ich aber auf :
Fläche = b(a) = 1/(pa) + [a * (2/p) * sin((p/2)x)]01
= 1/(pa) + a * (2/p) * sin(p/2) - a * (2/p) * sin(0)
= 1/(pa) + a * (2/p)
= (1/p) * a-1 + (2/p) * a
b'(a) = (1/p) * (-1) * a-2 + (2/p)
b'(a) = -1/(pa²) + (2/p)
b'(a) = 0
-1/(pa²) + (2/p) = 0
(2/p) = 1/(pa²) | * pa²
2a² = 1
a = Ö½ = ½Ö2
Die andere Lösung a = -Ö½ entfällt wegen a aus R+
b'(a) = 0 war aber nur die notwendige Bedingung
b''(a) = 2/(pa³) > 0 wegen a aus R+
Damit ist die hinreichende Bedingung für ein Minimum auch erfüllt. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2000 - 12:09: |
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OK, danke Georg ich werde mir das mal genau anschaun. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2000 - 13:21: |
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Also um nun den minimalen Flächeninhalt zu berechne, setze ich da einfach a=Wurzel aus 1/2 in b(a) ein???
Als Ergebnis bekomme ich dann 2/(pi*Wurzel aus1/2)
Stimmt das???? |
Georg (Georg)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2000 - 13:35: |
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Ja, stimmt. Dann kannst du das Ergebnis noch vereinfachen.
2 / (pÖ½) = 2Ö2 / p |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2000 - 13:42: |
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OK Danke!!! |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. August, 2000 - 13:18: |
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Ich mußte nun doch noch die Wendepunkte berechnen. Stimmt das:
cos ((pi/2)x) = 0
x1 = 1 und x2= 3
=> W1(1|a) und W2(3|a)
?????
Diese Wendepunkt liegen allerdings bei mir nicht auf dem Funktionsgraphen (für a=2) |
Georg (Georg)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 09:27: |
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x1 und x2 stimmen. Wenn ich sie in fa(x) = a * cos((p/2)x) einsetze, erhalte ich :
fa(x1) = fa(1) = a * cos((p/2)*1) = a * 0 = 0 Þ W(1|0) und
fa(x2) = fa(3) = a * cos((p/2)*3) = a * 0 = 0 Þ W(3|0) |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 16:15: |
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Ja klar, ist ja logisch!!!! Danke Georg |
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