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Beitrag |
    
Phil (Phill)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 08:44: | 
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wie kommt man von f(x)= 0,25*(x-8) für 8<=x<=10
zu dessen Stammfunktion F(x)= (1/8)(x^2)-(2x)+ 8.
Das versteh ich bis auf die 8 ?!
Als Hinweis ist gegeben: F(x) = ò-unendlich xfx (t) dt
Wie geht das?
Phil |
Steffi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 21:28: |
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Hallo Phil,
wenn man f(x) = 0,25*(x-8) im Bereich 8<=x<=10 integriert, dann erhält man eigentlich keine Stammfunktion, sondern ein bestimmtes Integral, d.h., eine ZAHL.
Das sieht dann so aus:
ò8 10(0,25*(x-8))dx
= [1/8*x²-2x](von 8 bis 10)
= (1/8*100-20-1/8*64+16)
=1/2
Die Stammfunktion, die du als Lösung gegeben hast, kommt meines Erachtens nur heraus, wenn du 8 als untere Grenze, aber keine obere Grenze setzt.
Also
ò8 x(0,25*(x-8))dx
= [1/8*x²-2x](von 8 bis x)
= (1/8*x²-2x-1/8*64+16)
= 1/8*x²-2x+8
Steffi |
Holger
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 10:44: |
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hallo Steffi und Phil
Bei der Stammfkt sind die additiven Konstanten relativ egal. Das sogenante C entsteht durch die Intergration und hat für die Schulmathematik keine wichtige Bedeutung. Es ist jedoch für die höhere Mathematik unerlässlich, der Formalismus, der dahinter steckt ist sehr wichtig, kann ich aber nicht auf die Schnelle erklären
Die Erkärung mit der oberen und unteren Grenze ist zwar ganz nett, aber wieso sollte man nur die untere Grenze beachten? Das ist keine hinreichende und zudem falsche Begründung. Die Grenzen müssen, wenn sie verwendet werden, beide verwendet werden.
holger |
Steffi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juli, 2000 - 22:29: |
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Lieber Holger,
ich habe mir das Ganze nochmal durch den Kopf gehen lassen: In der Aufgabenstellung steht nur, dass eine bestimmte Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion im Bereich 8<=x<=10 gesucht wird. Es wird nicht gesagt, dass 8 unbedingt als untere und 10 als obere Grenze DES INTEGRALS anzunehmen ist (denn das ginge ja wie gesagt auch nicht, weil man dann als Ergebnis eine Zahl und keine Stammfunktion erhielte).
Auch wenn die additive Konstante C beim Integrieren (v.a. bei Flächenberechnungen) eigentlich egal ist - hier ist sie nunmal gegeben und weist damit eine ganz bestimmte Stammfunktion aus.
Allerdings: da der x-Wert, bei dem man die gesuchte Stammfunktion erhält, nicht immer zufälligerweise gleich einem der beiden Grenzen entsprechen wird, sollte man so vorgehen:
òa x((0,25*(x-8))dx
= [1/8*x²-2x](von a bis x)
= 1/8*x²-2x-(1/8*a²-2a)
Da die gesuchte Stammfunktion
F(x) = 1/8*x²-2x+8 lautet
muss
8 = -(1/8*a²-2a) sein.
Nach Null auflösen:
0 = 1/8*a²-2a+8 |*8
0 = a²-16a+64
Nach binom. Formeln faktorisieren:
0 = (a-8)²
Diese Gleichung wird erfüllt für a=8.
Also ergibt sich
ò8 x(0,25*(x-8))dx = 1/8*x²-2x+8
Vielleicht hast du ja noch einen anderen Vorschlag zur Lösung!
Steffi |
Holger
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. August, 2000 - 21:08: |
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Hi Steffi,
dein Ansatz ist recht interessant. Aber wieso willst du nach NULL auflösen und dann a=8 berechnen. Du berechnest damit die Nullstelle der Stammfunktion, aber wieso?
holger |
Georg (Georg)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 15:44: |
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Hi Steffi
Dein zweiter Vorschlag hat den Nachteil, dass du die 8 in den Rechengang einbeziehst obwohl du sie an dieser Stelle noch nicht kennen sollst. |
Georg (Georg)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. August, 2000 - 15:59: |
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Für mich macht die Aufgabe nur dann einen Sinn, wenn man nach der Flächenfunktion sucht und nicht nach einer Stammfunktion. Die gegebene Gerade hat ihre Nullstelle bei x=8 , also ist die linke Grenze vernünftig. Wenn ich die rechte Grenze t nenne, dann gilt für die Fläche :
F(t) = ò8 t0,25(x-8)dx = [(1/8)x²-2x]8t = (1/8)t²-2t-(1/8)*64+16 = (1/8)t²-2t+8 |
Steffi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2000 - 20:09: |
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Hallo Leute,
irgendwie reden wir bei dieser Aufgabe aneinander vorbei ;-) !
Zuerst zu Holger:
Lies dir bitte meinen 2. Lösungsweg noch einmal aufmerksam durch:
Jede beliebige Stammfunktion von f(x) hat die Form
F(x) = 1/8x²-2x+C
Die gesuchte (und damit vorgegebene) Stammfunktion von f(x) lautet
F(x) = 1/8x²-2x+8
Also ist C=8.
Bei der Berechnung von òa xf(x)dx erhielt man
Fa(x) = 1/8x²-2x-(1/8a²-2a).
Der Term in der Klammer entspricht dabei der Konstanten C bzw. in diesem Fall dem Wert 8.
Also ist 8 = -(1/8a²-2a)
Und wenn ich hier a berechnen will, muss ich wohl oder übel nach Null auflösen! Die Gleichung entspricht mitnichten der Stammfunktion!
Zu Georg:
Die 8 kenne ich eben doch, da die gesuchte Stammfunktion F(x) = 1/8x²-2x+8(!) lautet. Es ist reiner Zufall, dass die Untergrenze des gegebenen Intervalls auch 8 beträgt!
Steffi |
Georg (Georg)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2000 - 21:39: |
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Eben, C=8 stammt aus der gesuchten Stammfunktion. Deswegen meine Bedenken.
Aber die Aufgabe von Phil ist so seltsam, dass wir uns schon darauf eingelassen haben, sie zurechtzubiegen. Wenn man sich aufzeichnet, dass f(x) eine simple Gerade ist, Steigung 0,25 , Nullstelle x=8 , dann ist z. B. der Hinweis
F(x) = ò-¥ xfx(t)dt ausgesprochen irritierend. Dieses Integral existiert überhaupt nicht.
Fügt man der Zeichnung noch eine Senkrechte x=b mit b>8 hinzu, dann hat man ein Dreieck, dessen Fläche A(b) man ja mal ausrechnen könnte :
A(b) = ½*Kathete*Kathete = ½*(b-8)*f(b) = ½*(b-8)*0,25*(b-8)
= (1/8)*(b-8)² = (1/8)b² - 2b + 8 also genau die angegebene Stammfunktion. Das hat mich auf meine Theorie mit der Flächenfunktion gebracht und so ist auch die Untergrenze 8 kein reiner Zufall. Wozu aber die Obergrenze 10 angegeben ist, bleibt genauso rätselhaft wie der "Hinweis" |
marie (Marie)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 12:49: |
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Hallöchen!
Wiedereinmal komme ich mit einer Aufgabe nicht klar.
Sie lautet:
Gesucht ist der Inhalt der Fläche A unter dem Graphen von f über Itervall I.
a) Begründen Sie, weshalb f keine Flächeninhaltsfunktion ist zur unteren Grenze 0 besitzt.
Wir sollen das anhand von 2 Funktionen durchführen:
1. f(x)=1/x2 im Intervall 1;4
2. f(x)=1/(x-1)hoch2 im Intervall 2;3
Wie soll ich das denn begründen? |
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