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Beitrag |
    
Stefanie Albers (Mcbealism)
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 09:07: | 
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Hallo, ich hab da eine ziemlich unfangreiche Aufgabe und ich weiss nicht, ob man hier so
lange Aufgaben überhaupt posten darf.  Ich
mach's einfach mal und hoffe, dass mir jemand
mit diesem Stoff weiterhelfen kann, denn ich bin
die totale Matheniete. Schon mal vielen Dank!!
Zu betrachten ist der reelle Vektorraum P3 der Polynome von hoechstens 3. Grad.
a) V1 sei Untervektorraum von P3 und
V1:<f1,f2,f3,f4> mit
f1(x)= -x^3+2x
f2(x)= x^3-6x^2+3x-1
f3(x)= -x^3-18x^2+17x-3
f4(x)= -4x^3+6x^2+3x+1
Zu untersuchen ist, ob f1,f2,f3,f4 linear abhaengig oder unabhaengig sind. Angabe der Dimension von V1.
b)
Sei F:
P3 -> P3, f -> g
und die Menge von:
f(x)= ax^3+bx^2+cx+d
g(x)= 3ax^2+2bx+c
mit (a,b,c,d Element von IR)
Zu zeigen ist, dass fuer alle fi,fj,f Element von P3 und k Element von IR gilt:
F(fi+fj)= F(fi) + F(fj) bzw. F(z*f) = z*F(f)
c) Sei f Element von P3 durch F(f)=g* mit
g*(x)= 6x^2-4x+3 (mit F aus Aufgabenteil b) bestimmt.
Zu untersuchen ist, ob die so definierte Menge V2 von Polynomen einen Untervektorraum von P3 bildet, also V2=Menge von: f Element von P3 I F(f)=g* |
Ralf
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 22:22: |
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Hallo Stefanie,
zu a) nimm mal folgenden Ansatz:
a*f1(x)+b*f2(x)+c*f3(x)+d*f4(x)=0
Wenn es außer a=b=c=d=0 keine Lösung der Gleichung gibt, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Versuch mal soweit zu kommen und schreib Deine Rechnung doch einfach hier hinein.
Ciao, Ralf |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 22:29: |
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"Dürfen" tust Du hier fast alles,was das veröffentlichen von Fragen/Aufgaben angeht. Ausgenommen sind eigentlich nur Aufgaben aus noch laufenden Mathematik-Wettbewerben.
Nun aber zu den Antworten :
a) Du mußt die Gleichung r1f1+r2f2+r3f3+r4f4 = 0 betrachten.
Wenn es eine Lösung mit mind. einem ri¹0 gibt,sind die Funktionen linear abhängig,andernfalls nicht.
Die Gleichungen lauten hier :
(1) -r1+r2-r3-4r4=0
(2) -6r2-18r3+6r4=0
(3) 2r1+3r2+17r3+3r4=0
(4) -r2-3r3+r4=0
Durch scharfes Hingucken stellst Du fest : (2) = 6*(4) und somit bleiben drei relevante Gleichungen mit vier Unbekannten.Also sind die Funktionen linear abhängig. Wenn Du das System löst,wirst Du feststellen,daß die Dimension des Raumes 1 ist.
b) einfach nur einsetzen.
f1=a1x3+b1x2+c1x+d1
f2=a2x3+b2x2+c2x+d2
---------------------------------------------
f1+f2= (a1+a2)x3+(b1+b2)x2+(c1+c2)x+(d1+d2)
Dann auf beides F anwenden und die Ergebnisse vergleichen.
c) Kein Vektorraum,ist am einfachsten allgemein zu zeigen.
Seien f und g Funktionen mit F(f)=g* und F(g)=g*.Dann ist F(f+g)=F(f)+F(g)=g*+g*=2g* |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 08:58: |
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dim(V1)=3 |
McBealism
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 13:05: |
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Hallo Ralf, danke für die Antwort!!!
Na gut, dann probier ich das mal. Also:
a*f1(x)+b*f2(x)+c*f3(x)+d*f4(x)=0
d.h.:
a*(-x^3+2x)+b*(x^3-6x^2+3x-1)+c*(-x^3-18x^2+17x-3)+d*(-4x^3+6x^2+3x+1)=0
durch Probieren mit mehreren ZAhlen für x (z.B. 1, -2, usw), ergibt sich,
dass a,b,c,d=0 sein müssen,
damit die Gleichung ebenfalls null ist. Das würde heißen f1,f2,f3 und f4
sind linear unabhängig.
Stimmt das so???? Von Ingo hab ich eine andere Lösung bekommen, aber ich
komm trotzdem auf
diese hier. Hab ich was falsch gemacht? |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 16:44: |
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Hallo McBealism,
Probier mal:
a=-3
b=1
c=0
d=1
also:
-3[f(1)]+1[f(2)]+0[f(3)]+1[f(4)]=?
-3*[-x³+2x]+1*[x³-6x²+3x-1]+0*[-x³-18x²+17x-3]+1*[-4x³+6x²+3x+1]=? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juli, 2000 - 18:57: |
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Nachtrag zu Fern und mir : Dir Wahrheit liegt in der Mitte : dim V1=2,denn man kann für (a,b,c,d) die unabhängigen Lösungen (3,1,0,1) und (4,3,-1,0) wählen.
4(-x3+2x)+3(x3-6x2+3x-1)-(-x3-18x2+17x-3)
=(-4x3+8x)+(3x3-18x2+9x-3)-(-x3-18x2+17x-3)
=(-4+3+1)x3+(-18+18)x2+(8+9-17)x+(-3+3)
=0 |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juli, 2000 - 19:59: |
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Einverstanden mit Ingo! |
Katrin (Knueller)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 20:19: |
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Hallo,kann mir einer bei meinen Hausaufgaben helfen,bei denen ich mich scheinbar ziemlich doof anstelle???
Bestimmen sie den Mittelpunkt der Strecke AB...
a) A(-1/2/1),B(3/4/-7) b) A(2/2/-3),B(-4/12/-1)
Ich muß sagen,ich weiß nicht,ob ich das miteinander addieren muß,oder was sonst?!.
Vielen dank schonmal für eure Hilfe!!! |
Ina
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 21:23: |
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Hallo ! Ich sitz hier grade vor meinen Hausaufgaben und verstehe kein Wort... Es geht irgendwie um Vektorräume... Bitte, helft mir!!!
Also...:
UNTERSUCHE, OB DIE FOLGENDE TEILMENGE M VON R (rationale Zahlen) DER IN R DEFINIERTEN VEKTORRAUMOPERATION EINEN VEKTORRAUM BILDET. ES IST ALSO ZU PRÜFEN, OB DIE SUMME ZWEIER ELEMENTE AUS M UND ALLE VIELFACHEN EINES ELEMENTS AUS M STETS WIEDER ZU M GEHÖREN.
a) M=( 9t ) /t "Element aus" R
5t
1
Helft mir und erklärt, was damit gemeint ist...
Danke, Eure Ina*** |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 10:53: |
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Hy Katrin : erinfach nur addieren und das Ergebnis durch zwei teilen. Stells dir als Summe von Vektoren vor,dann wirds mit dem Mittelpunkt wohl verständlicher.
Ina : An deiner Darstellung ist nicht zu erkennen welche Mengen betrachtet werden sollen. Geht es um Teilmengen von IR oder IR3 ?
In jedem ist zu prüfen,ob die Summe zweier Elemente wieder ein Element der Menge ist und ebenso jedes skalara Vielfache. In Formeln :
(1) a,b Î M => a+b Î M
(2) a Î M , l Î IR => la Î M |
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