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Beitrag |
    
Walter Sobchack (Smokinsoldier)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 12:42: | 
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Also das ist ein ziemlich harter Brocken!
Wir sollen das Volumen einer Coke-Flasche berechnen. Zuerst muss eine Funktion gefunden werden, die die Form der Flasche beschreibt. Dazu habe ich die Flasche von oben bis unten durchgeschnitten und dann um 90° gedreht, mit der flachen Seite auf der x-Achse. Nun habe ich eine Funktion, die an eine Sinuskurve erinnert (aber keine ist).
Was ich zuerst gemacht habe, ist mehrere Punkte auszumessen:
f(0) = 2.5
f(1) = 3
f(2.5) = 2.75
f(4) = 2.5
f(8.5) = 3.5
f(9.5) = 3
f(15) = 2
f(18) 1.25
Die folgenden Punkte sind Max/Min:
f'(1) = 0
f'(4) = 0
f'(9.5) = 0
An den folgenden Punkten wechselt die Krümmung:
f''(2.5) = 0
f''(15) = 0
Als nächstes habe ich versucht, eine sog. Steckbriefaufgabe daraus zu machen. Eine Funktion 5. Grades der Form:
f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f
Durch einsetzen der x-Werte und subtrahieren der Funktionen voneinander bekommt man nach und nach die Zahlwerte von a bis f.
Doch diese Werte waren nicht korrekt, bzw. ergaben keine Funktion, die aussah wie eine Cola-Flasche (nicht im entferntesten).
Was kann ich also tun? Oder gibt es einen einfacheren, geschickteren Lösungsweg?
Im Endeffekt nehme ich dann diese "Coke-Funktion" und rotiere sie um die x-Achse, so dass ich das Volumen habe (0.33l).
Danke für jede Hilfe, ich kann jeden Rat brauchen! |
IQzero
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 19:10: |
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Hi Walter!
Das Problem ist dass Du versuchst Deine Polynom 5ten Grades in der 6 Variablen (a..f) vorkommen durch 13 Bedingungen zu errechnen. Das passt nicht zusammen. Ein Gleichungssystem mit n Variablen ist eindeutig lösbar, wenn Du auch n linear unabhängige Gleichungen hast. (Deine Bedingungen werden wohl wahrscheinlich auch zu unabhängigen Gleichungen führen, das wäre sonst schon ein grosser Zufall)
Ich gehe auch nicht davon aus, dass Dein gefundenes Polynom alle Bedingungen 13 erfüllt, sondern wahrscheinlich höchstens 6.
Du musst Dich also entweder bei der Zahl der Bedingungen auf 6 beschränken, wenn Du bei dem Polynom 5-ten Grades bleiben willst oder wenn Du bei den 13 Bedingungen bleiben möchtest, ein Polynom 12 Grades wählen.
Das lässt sich aber kaum noch von Hand rechnen, sondern das müsstet Du von einem Matheprogramm machen lassen. Wenn Du Dich mit Excel und Matrizen auskennst, geht das damit übrigens auch, da Excel Matrizen invertieren kann.
Du solltest auf jeden Fall nachdem Du eine Funktion errechnet hast auch überprüfen, ob alle Bedinungen erfüllt sind. Wenn es dann immer noch nicht wie der Schnitt durch eine Coke Flasche aussieht, dann lag es an den Messungen.
Ich hoffe ich konnte Dir ein wenig helfen. |
Walter Sobchack (Smokinsoldier)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 15:13: |
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IQzero, erstmal ein Dankeschön für deine Hilfe, ich dachte mir schon so etwas in der Art, war mir aber über den Zusammenhang nicht ganz sicher.
Eine Frage habe ich aber trotzdem noch: Welche Punkte sollte ich denn nehmen für meine Gleichungen? Kann ich einfach wirrkürlich 5 herausnehmen und mit denen wird's dann schon klappen, oder suche ich mir die besser gezielt aus?
Ich denke ich nehme ein Polynom 5ten Grades. Gibt es da eine maximale Anzahl möglicher Extrema oder Wendestellen? Also bei Polynomen 2ten Grades kann es ja nur ein Extrema geben und keine Wendestellen, ist so ein ähnliches Limit auch bei Polynomen 5ten Grades?
Danke im voraus! |
Kilian (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 19:57: |
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Ein Polynom nten Grades kann maximal n Nullstellen haben (Was ja klar ist) und die Fkt. kann also maximal 4 Extremas aufweisen und letztenendes 3 Wendepunkte besitzten. Je größer der Grad des Polynoms ist desto besser.
Ich würde es mit einem Polynom 12ten Grades versuchen. Doch auch das ist nicht sehr akkurat.
Tip: Abschnittsweise defininierte Fkt. helfen eher weiter (v.a. bei einer Colaflasche) |
Walter Sobchack (Smokinsoldier)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 22:32: |
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Klingt einleuchtend, Kilian.
Ich werde es mit einem Polynom 19ten Grades versuchen, da ich 19 Punkte habe - wird ne lange Nacht werden.
Eine Frage habe ich aber noch:
Wie gehe ich am besten vor? Ich hatte vor, solange Funktionen gleichzusetzen, bis nur noch eine Funktion mit einer Variable übrig bleibt, und dann zurück gehen und einsetzen. Das klingt sehr umständlich, gibt es einen idealeren Weg?
Danke |
IQzero
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 15:41: |
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Hi Walter!
Wenn Du das wirklich per Hand rechen möchtest, dann schlage ich das Additionsverfahren vor. Das ist einfacher als gie Gleichungen durch einsetzen zu eliminieren. Aber selbst das halte ich bei 19 Gleichungen mit krummen Zahlen per Hand fast undurchführbar. (Übrigens wie schon gesagt nimm ein Polynom 18-ten Grades, wenn Du 19 Punkte hast!)
In dieser Grössenordnung solltest Du Dich in ein Matheprogramm oder in die Matrizenrechnung mit Excel einarbeiten. Das wird Dir vermutlich insgesamt trotzdem noch Zeit ersparen. |
Walter Sobchack (Smokinsoldier)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 19:41: |
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Was genau verstehst du unter Additionsverfahren?
Ich wollte es so angehen (ich bin jetzt bei einer Gleichung 9ten grades):
f(2) = 2.7 + 2b + 4c +...+ 512j = 2.8
f(4) = 2.7 + 4b +...+ 262144j = 2.5
dann nehme ich f(2) mal 2 um das b wegkürzen zu können und dann subtrahiere ich die beiden Funktionen voneinander. Das ganze mache ich solange bis ich nur noch das j übrighabe...und dann rückwertig einsetzen...
Gibt es einen schnelleren Weg als diesen? |
Walter Sobchack (Smokinsoldier)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 02:29: |
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Ok, es ist schon spät, oder früh, je nachdem, aber mir kam gerade die Idee, es mit dem "Newtonsches Interpolationspolynom"-System zu versuchen. Also eine Funktion 11ten Grades ist es jetzt (mit 12 Punkten) und sie ist eine halbe Din-A-4 Seite lang...mal sehen, ob ich was kürzen kann.
Steht dieser Newton-Methode irgendetwas im Weg?
Gute Nacht! |
Quaternion (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 12:48: |
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ich glaube nicht, dass du mit der newtonmethode zu werke kommen kannst. du newton polynome oszillieren durch die hohen polynomgrad gerade zwischen den stützstellen sehr stark. auch mir einem normalen polynom dürftest du schwierigkeiten haben.
Du kommst glaube ich nur weiter, wenn du abschnittsweise definierte fkt. definierst, da z.b. der meiste Teil eine Colaflasche der Fkt. x=const. genügt (der ganze gerade Hals...). |
Quaternion (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 12:51: |
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P.S.:
Auf der Seite
http://www.fh-friedberg.de/users/mlutz/JavaKurs/applets/Splines/SplnesNewtonIndex.htm
existiert eine Applett zur Newton-Methode und zur Spline Interpolation.
Nur wenn deine Punkte wirklich wirklich nah aneinander liegen helfen diese methoden. (z.B.: dx<0.1) |
Walter Sobchack (Smokinsoldier)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 14:04: |
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Hmm, Du hast recht.
Eine weitere Möglichkeit wäre es ja, die Funktion in, sagen wir, drei Teile zu teilen, und jeden Teil einzeln zu behandeln. Doch auch da stosse ich auf ein Problem: Die "Nähte", also die Stellen, wo f1(x) auf f2(x) trifft, sind nicht glatt, d.h. ich habe Sprünge drin. Gibt es einen Weg einen weicheren Übergang zu machen?
P.S.: Wo find ich eine Herleitung des Newtonschen Interpolationsprinzips, also eine Art Beweis? |
Quaternion (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 16:59: |
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Um einen weicheren Übergang zu gewährleisten musst du irgendwie dafür sorgen, dass an die Nahtstellen der Gleichung f1'(x0) = f2'(x0) genügen.
Einen Beweis habe ich nicht gefunden. |
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