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Beitrag |
    
martin (0ahnung)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 16:30: | 
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Hallo! Ichs stehe einmal mehr vor für mich unlösbaren Aufgaben!
1.) Finde eine orthonormale Basis von lin(z1,z2,z3) mit z1=(0,0,1,0) z2=(-1,0,2,3) z3=(3,1,0,2) sowie ein z4 E |R^4, das zu allen Elementen von lin(z1,z2,z3) orthogonal ist!
2.) Bestimme die Eigenwerte folgender Matrizen!
a.)
(0 1 0 0)
(0 0 1 0)
(0 0 0 1)
(1 0 0 0)
b.)
(1 0 1 0)
(1 1 0 1)
(1 0 1 0)
(0 1 1 1) |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 17:42: |
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Hallo martin,
Zu 1)
Dies geht mit der sogenannten Gram-Schmidt Methode:
Wir bilden die folgenden Vektoren:
v1=z1
v2=z2-[(z2.v1)/(v1.v1)]*v1
v3=z3-[(z3.v1)/(v1.v1)]*v1-[(z3.v2)/(v2.v2)]*v2
===========
Dabei bedeutet: (z2.v1) das Skalarprodukt, (v1.v1) also |v1|²
Ergebnis ist:
v1= (0,0,1,0)
v2= (-1,0,0,3)
v3= (33/10,1,0,11/10)
v1, v2, v3 bilden eine orthogonale Basis des von z1, z2, z3 aufgespannten Raumes.
Um eine orthonormale Basis zu erhalten, müssen wir normieren:
w1=v1/|v1|=(0,0,1,0) dieser Vektor war schon normiert!
w2=v2/|v2|=(-W(10/10), 0, 0, (3/10)W(10))
w3=v3/|v3|= W(1310)/1310*(33, 10, 0, 11)
Die Vektoren w1, w2, w3 sind die gesuchte orthonormale Basis:
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Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 09:51: |
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Hallo martin,
Zur Aufgabe 1) gehört auch noch der Vektor z4, der auf z1,z2,z3 senkrecht steht.
Dazu suchen wir den orthogonalen Raum zu lin(z1,z2,z3):
Wir bilden die Matrix mit den z-Vektoren als Zeilen.
0 0 1 0 1 0 0 -3
-1 0 2 3 diese reduziert zu: 0 1 0 11
3 1 0 2 0 0 1 0
Es ist also x4 frei wählbar = t.
x1=3*t
x2=-11*t
x3=0
x4=t
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Jeder Vektor z4= t* (3; -11; 0; 1) steht senkrecht auf z1 und z2 und z3.
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