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Katrin
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 14:45: |
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Also ich habe folgendes Problem: Wäre sehr nett wenn mir wer helfen würde. Wie lautet die Gleichung jenes Kreises der die Parabel y²=100x in den Punkten P=(16/40) und Q=(16/-40) berührt? Danke! |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 16:45: |
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Hi Katrin , Die beiden Parabelpunkte P und Q liegen bezüglich der x-Achse symmetrisch. Da die x-Achse zugleich Parabelachse ist, schneiden sich die Parabeltangenten u ( Berührungspunkt P ) und v ( Berührungspunkt Q ) auf der x-Achse. Weil der gesuchte Kreis die Parabel in P und Q berühren soll, sind u und v auch Kreistangenten. Der Mittelpunkt M des Kreises liegt auf der Winkelhalbierenden der Tangenten u und v, somit also der x-Achse. Wir erhalten somit den Mittelpunkt des Kreises als Schnittpunkt der x -Achse mit der im Punkt P zur Tangente u errichteten senkrechten Geraden s (Durchmessergerade). Ausführung Die Steigung m1 der Parabeltangente u in P mittels der Ableitung der Parabelgleichung nach x: 2 y y' = 100 (für die Ableitung der linken Seite nach x wurde die Kettenregel benützt: Ableitung nach y gibt 2y mal Ableitung y' von y nach x). y-Koordinate von P, y = 40, eingesetzt ergibt : m1 = y' = 5 / 4 Die Steigung m2 des Berührungsradius PM des Kreises ist dazu wegen der Orthogonalität entgegengesetzt reziprok, also: m2 = - 4/5 Gleichung der Gerade PM: y - 40 = m2 * ( x - 16) Schnitt mit der x-Achse: y = 0 setzen und nach x auflösen,m2 durch - 4 / 5 ersetzen, führt auf den x-Wert des Mittelpunktes; xM = 66, also M( 66 / 0 ) Der Kreisradius r ist gleich dem Abstand MP, somit: r ^ 2 = (66-16)^2 + (40 - 0)^2 = 4100 Damit erhalten wir die Kreisgleichung: ( x - 66 ) ^ 2 + y ^ 2 = 4100 Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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