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Confider
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 16:16: | 
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Hallo ich brauche Hilfe bei der Darstellung der eulerschen Geraden. Dies soll ausschließlich in vektorieller Form geschehen (auch die Darstellung von H, S und U soll nur mit Vektoren berechnet werden).
Ich danke euch jetzt schon für eure HILFE.
DANKE |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 08:38: |
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Hi Confider,
Wunschgemäss zeige ich Dir einen Beweis des Satzes von Euler
und die Darstellung einer Gleichung der Eulerschen Geraden
auf rein vektorieller Basis.
Für das Verständnis ist eine nach dem folgenden Text selber
hergestellte, grosszügig konzipierte Figur hilfreich.
Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC mit Umkreis k;
U sei der Mittelpunkt von k .
V sei der bezüglich der Seite AB normalsymmetrische Punkt zu U
( U und V liegen auf der Mittelsenkrechten der Seite AB und haben
von der Seite AB je gleiche Abstände ).
H ist der Höhenschnittpunkt, S der Schwerpunkt des Dreiecks
ABC .
Der Satz von Euler lautet:
Der Umkreismittelpunkt U, der Schwerpunkt S und der
Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks liegen liegen auf einer Geraden g,
der Eulerschen Geraden; und es gilt : für den zwischen U und H
liegenden Punkt S beträgt das Teilverhältnis SU : SH = 1 : 2 .
Zur Bezeichnung: bei allen kleinen lateinischen Buchstaben und
bei den grossen Buchstabenpaaren ist der Vektorpfeil weggelassen
Für den folgenden Beweis wählen wir U als Nullpunkt :
Ortsvektoren haben also ihren Anfangspunkt in U
Wir bilden mit den Vektoren
a = UA , b = UB . c = UC den Summenvektor :
p = a + b + c , .......................................................................(I)
und wir beachten, dass für den Vektor US nach einem
bekannten Satz über die Ermittlung des Schwerpunktes im Dreieck
die Beziehung gilt:
US = 1/3 * (a+b+c) = 1/3 * p ................................................(II)
Wir weisen nun nach , dass der Vektor p mit dem Vektor UH
übereinstimmt, dass also
p = UH ist..............................................................................(III)
Damit ist dann wegen (II) nachgewiesen, dass U, S und H
auf einer Geraden liegen und das angegebene Teilverhältnis
richtig ist.
Beweis von (III)
Es gilt UV = UA + AV = UA + UB = a + b...............................(IV)
Zu UV addieren wir nun den Vektor c = UC ,
und wir erhalten mit der Summe a + b + c = p einen Vektor,
der seinen Anfangspunkt in U und seinen Endpunkt auf der Höhe hc
durch C hat wie Figura zeigt ( ergänze UVC zum Parallelogramm,
die Gegenseite zu UV im Parallelogramm liegt auf hc )
Wenn wir die Seiten des Dreiecks zyklisch vertauschen, d.h.
A durch B, B durch C und C durch A ersetzen, folgt sofort:
die Spitze des Ortsvektors p liegt auf der Höhe ha durch A.
Nochmalige zyklische Vertauschung der Ecken zeigt:
die Spitze des Ortsvektors p liegt auf der Höhe hb durch B.
Schluss: die Spitze des Ortsvektors p liegt im Schnittpunkt H
aller drei Höhen !
Damit ist (III) bewiesen
Für eine Vektorgleichung der Euler-Geraden g findet man
nun leicht, indem man p als Richtungsvektor für g verwendet,
und den Ursprung in U wählt:
r = t * (a + b + c) , ( Parameter t von - unendlich bis + unendlich)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Confider
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 10:03: |
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Dank für die Erklärung |
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