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Beitrag |
    
Heiko
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 11:00: | 
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Gegeben seien die Geraden g:x=(2;1;5)+t*(1;0;3) und h: x= (3;4;2)+t*(-1;5;1) A)Zeige, dass die Geraden windschief sind und berechnederen Abstand B) Bestimme die Punkte G auf g und H auf h, so dass die Gerade GH der Abstand der geraden g und h ist C) Gib fürdieEbene durch G und h eine Parametergleichung und eine Mormalengleichung an D) Bestimme die Punkte A und B auf g, für welche die Strecke HA = HB = 3 gilt Ich hoffe es ist euch möglich mir bis morgen weiter zu helfen, was wirklich meine Rettung wäre
Gruß Tobi ! |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 12:34: |
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Hallo Tobi,
A)
Wir berechnen direkt den Abstand. Falls dieser nicht Null ist, so sind die Geraden windschief.
Dazu bilden wir das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren
(1;0;3) x (-1;5;1) = (-15; -4; 5)
und normieren:
b:= (-15/W(266); -4/W(266); 5/W(266))
Wir wählen auf jeder Geraden irgendeinen Punkt:
P=(2;1;5)
Q=(3;4;2)
und bilden den Vektor: PQ=Q-P= (1;3;-3)
Dann ist der gesuchte Abstand: Projektion von PQ auf b
also das skalare Produkt
d= (1;3;-3).(-15/W(266); -4/W(266); 5/W(266))
Abstand d= -(3/19)*W(266) natürlich immer positiv genommen!
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Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 13:57: |
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Hallo Tobi,
Der nächste Punkt:
B)
Strategie: Wir bilden Ebene E durch Punkt P und aufgespannt durch g und b.
Durchstoßpunkt von h mit E ist der gesuchte Punkt H:
Vektorprodukt (-15/W(266); -4/W(266); 5/W(266)) x ( 1;0;3)=
=(-12; 50; 4)
Ebenengleichung E: -12x+50y+4z=46
Durchstoßpunkt E mit h: H= (66/19; 31/19; 29/19)
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Das Lot (= kürzeste Strecke zwischen g und h) ist dann
aud der Geraden durch H mit Richtung b:
Lot = (66/19; 31/19; 29/19) +t*(-15; -4; 5)
und der Punkt G ergibt sicht als Schnittpunkt des Lotes mit g:
G= (21/19; 1; 44/19)
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Zur Probe: Strecke (nicht Gerade) HG = (3/19)W(266)........wie oben.
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Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 14:44: |
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Die Aufgabe entwickelt sich komplizierter als ich gedacht habe:
Punkt C) kannst du sicher selbst lösen.
D)
Wir bilden eine Kugel mit Mittelpunkt in H=(66/19; 31/19; 29/19)
und Radius = 3:
Kugel: (x-66/19)²+(y-31/19)²+(z-29/19)² = 3²
und wir suchen die Schnittpunkte mit der Geraden g:
(2;1;5) + t*(1;0;3)
Hier habe ich die Arbeit meinem Computer überlassen:
Schnittpunkte:
A=(21/19+3/W(38); 1; 44/19+9/W(38))
B=(21/19-3/W(38); 1; 44/19-9/W(38))
oder gerundet:
A=(1,592; 1; 3,776)
B=(0,619; 1; 0,856)
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