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Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 1999 - 15:49: | 
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Hallo hier ist Fuzzylogik.
Also eine McLaurinreihe ist ja eine Taylorreihe mit a=0.
Jetzt geht es darum: wieviele Glieder muss ich (die Folge sei konvergierend) bilden, um eine ausreichende Genauigkeit zu erhalten.
Tja, das sagt mir das Restglied. Es gibt an, wie gross der Fehler bei n Schritten ist.
Da habe ich jetzt allerdings ein Problem.
In der Lagrange-Formel des Restgliedes kommt xMw bzw. Theta vor. Dieses ist entscheidend für die ganze Rn+1(x) -Formel. Wie errechnet man Theta, bzw was soll man dafür einsetzen? Es muss kleiner sein als x (der Wert, für den man annähern will) bei Taylor, und kleiner als 1 bei McLaurin, und grösser als 0.
Vorstellbar wäre wegen der Herleitung von Schmiegparabeln, dass eigentlich Theta = (Epsilon-xo)/h ist, was übertragen auf die McLaurin-Reihe mit a = x0 = 0 und h deswegen = x hiesse:
(Epsilon - 0)/ h = Theta,
so dass Theta = (Epsilon - 0) / x
Dann stellt sich die Frage: wie gross ist Epsilon, wobei ich vermute, dass es bei einer Parabel 2. Grades = (h - x0) / 2 ist, mithin für die McLaurin-Formel wegen a=x0=0 und h=x einfach = x/2.
Dann wäre Theta aber = 2, und das ist leider nicht kleiner 1. Aber gut, dass wir mal drüber gesprochen haben. Wir sollten das Gespräch fortsetzen...
Gruss
Euer
XXFuzzylogikXX |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 1999 - 00:35: |
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Hello, Fuzzylogik on air!
Leider bin ich im Moment wegen BWL-Klausur out of area, aber die Lösung o.g. Problems ist immer noch vakant! Kann mir bitte jemand helfen??
Roger over
Yours
XXXFuzzylogikXXX |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 1999 - 22:47: |
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Hi Fuzzylogik!
Die Restgliedformel lautet Rn(x) = f(n+1)(Tetha*x) * xn+1 / (n+1)! für ein Theta aus (0,1). Welches Theta du nehmen musst, steht in den Sternen. Um auf der richtigen Seite zu bleiben, nimmt man in der Regel das schlechtest mögliche Theta. Welches das wiederum ist, kann in einigen Fällen schwierig zu ermitteln sein. Wenn man Glück hat, sieht man relativ einfach, dass Rn(x) als Funktion von Theta monoton wachsend in (0,1) ist (Kurvendiskussion). Dann weiß man, dass f(x) von der n-ten Taylorsumme höchstens f(n+1)(x) * xn+1 / (n+1)! entfernt ist.
Das mit Epsilon habe ich jetzt nicht verstanden. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Dezember, 1999 - 18:10: |
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Hallo Zaph,
zunächst mal recht herzlichen Dank für die message. Leider war mein Internetzugang etwas gestört, so dass ich erst heute nachgucken konnte.
Tja, mittlerweile hat sich der Nebel etwas gelichtet. Mit dem Epsilon muss ich selber nochmal schauen, und mich dann wieder melden. Leider ist über Weihnachten soviel Zeugs dazwischengekommen, dass ich mich erst wieder reinarbeiten muss... (zuviele Geschenke ;-))
Also bis bald
Euer
XXFuzzylogikXX |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Dezember, 1999 - 21:14: |
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Hallo Zaph,
ich bin der Sache schon näher. Ich habe die Taylorreihe mit Hilfe des Buches hergeleitet. Bzgl. Deiner message: Du schreibst von Taylorreihe, aber das Restglied scheint für die McLaurinreihe zu passen, weil x^n+1 enthalten ist. Dann muss gelten h=0 bzw x1=x0, und das ist bei der McLaurinreihe der Fall (bei Taylor wäre einzusetzen (x1-x0)^n+1 ).
Melde mich wieder wenn Epsilon geklärt ist...
Euer
XXFuzzylogikXX |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 1999 - 20:16: |
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Hallo, hier ist Fuzzylogik!
Also das wäre soweit geklärt, auch weshalb man (Theta*x) nehmen kann anstatt xMw.
Das mit Epsilon kommt aus einer anderen Sache, wo Schmiegparabeln gebildet wurden, und anhand einer Skizze erklärt wurde. Man kann Epsilon nicht auf den Sachverhalt bei der Taylorreihe übertragen, es kommt bei der Herleitung der Taylorreihe ja garnicht vor.
Was ich jetzt aber gerne noch wissen würde: Rn(x) als Funktion von Theta, soll das heissen, x ist konstant, und Theta variabel? Dann müsste ich die Restgliedformel nach Theta umstellen. Ich versuchs mal (in diesem Jahr noch, hehe) und funke dann wieder.
Roger over
Euer
XXFuzzylogikXX |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 1999 - 01:22: |
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Übrigens, Epsilon ist der Punkt zwischen x0 und x (=x0+h), wo mT und mS(x0-->x) gleich sind.
Es gilt die Beziehung für Theta:
Theta = Epsilon-x0 / h
Demnach bewegt sich Theta zwischen 0*h und 1*h, woraus sich dann Werte zwischen 0 und 1 ergeben, nachdem man gemäss der Gleichung durch h teilt.
Je nach Kurvenform, oder dem gewählten h bzw x denke ich, gibts einen anderen Wert für Epsilon und mithin für Theta. Er steht bei unbekannter ursprgl. Funktion sicherlich in den Sternen, daher frägt sich was das Theta sein sollte. Am Besten wohl 1? Auswirkungen auf n in der Restgliedformel, damit auf die Genauigkeit?
Das wars soweit für heute. Habe Funktion für Theta aufgestellt, aber zuerst mal überlegt, was genau Theta ist...
Euer
XXFuzzylogikXX |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 1999 - 22:42: |
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Hallo Fuzzilogik,
Ich möchte versuchen, etwas Licht in die Taylor-Reihe zu bringen.
Lassen wir die Mclaurin mal beiseite, die ja nur ein Spezialfall ist.
Falls man von einer Funktion an irgendeiner (festen) Stelle x0 den Funktionswert und n-Ableitungen kennt, so kann man daraus den Funktionswert an einer anderen Stelle x berechnen.
Genau allerdings nur mit unendlich vielen Gliedern. In der Praxis muss man die Reihe abbrechen und begeht dadurch einen Fehler. Diesen Fehler kann man abschätzen (nicht genau berechnen).
Dazu gibt es mehrere Formeln, eine davon die von Lagrange.
=====
x0.....heißt die Entwicklunsstelle
x......ist der Wert für den f(x) berechnet werden soll.
Den Abstand (x-x0) schreibt man auch als h, so dass x=x0+h ist.
Für alle Glieder der T-Reihe benötigt man f(x0), f'(x0), f"(x0) usw. also immer an der Stelle x0.
Für das Restglied benötigt man die (n+1)ste Ableitung von f aber an einer unbekannten Stelle! Diese unbekannte Stelle liegt aber zwischen x0 und x also zwischen x0+0*h und x0+1*h.
Dies schreiben die Mathematiker: x0+theta*h wobei 0< theta <1.
Man braucht also die (n+1)ste Ableitung an der Stelle (x0+theta*h):
f(n+1)(x0+theta*h)
Die Lagrangesche Restformel lautet dann:
1/(n+1)!*h(n+1)*f(n+1)(x0+theta*h)
Für ein bestimmtes Beispiel, nimmt man theta entweder =0 oder =1 je nachdem, um so den größtmöglichen Fehler abzuschätzen.
Melde dich, falls du noch weitere Fragen hast.
Fern |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 22:12: |
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Hi Fuzzylogik!
Bin auch wieder da! Fern (@Branca ??? :-) ) hat im Prinzip Recht. Man verwendet die Taylor- (oderwasauchimmer-) Entwicklung, um einen Funktionswert näherungsweise zu berechnen. Alles wird vielleicht an einem Beispiel am deutlichsten:
Nimm mal an, du hast nur einen Taschenrechner von 1971, so einen ohne Exponentialfunktion, willst aber e² berechnen.
Dazu entwickelst du f(x) = ex um x0 = 0 in eine Taylorreihe. Hierzu benötigst du die n-ten Ableitungen von f(x) bei x0 = 0. Das ist aber in diesem Beispiel einfach: f(n)(0) = e0 = 1.
So, die Taylorentwicklung lautet nun:
f(x)
= f(0) + f'(0) * x + f"(0) * x²/2 + ... + f(n)(0) * xn/n! + Rn(x).
= 1 + x + x²/2 + ... + xn/n! + Rn(x).
Also f(2) = 1 + 2 + 4/2 + ... 2n/n! + Rn(2).
Wenn du jetzt zum Beispiel für n = 10
1 + 2 + 4/2 + ... 210/10!
berechnest, dann ist das schon fast f(2) (probier es aus!). Den Fehler, den du bei dieser Näherung machst, ist R10(2) = e2 * Theta * 211 / 11! für ein Theta zwischen 0 und 1 (siehe Formel von oben).
Das kannst du jetzt natürlich erst recht nicht berechnen, denn du kennst Theta nicht und schon gar nicht e(2 * Theta) (Remember: du hast keine Exponentialfunktion auf deinem Taschenrecher).
Aber: 211 / 11! = 5,13 * 10-5 und schlimmstenfalls (da die e-Funktion monoton wachsend und e<3 ist) e2 * Theta < e2 * 1 < 32 = 9.
Also ist der Fehler, den du machst, auf jeden Fall kleiner als 9 * 5,13 * 10-5 = 4,61 * 10-4. In der Regel gibt dir die Taylorentwicklung wesentlich bessere Ergebnisse, als durch diese "Restgliedabschätzung".
Was bei Fern nicht ganz korrekt war, ist der Irrtum, dass Theta stets (wie in diesem Beispiel) 0 oder 1 gewählt werden kann. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 07:54: |
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Hallo Leute!
Moment mal, die Herleitung der Taylorreihe istb ja jetzt grundsätzlich klar. Auch mit Theta das geht klar.
Zaph, was meinst Du mit "die Taylorentwicklung liefert bessere Ergebnisse als diese Abschätzung"? Die Taylorentwicklung selber gibt doch eigentlich keine Auskunft, wieviele Glieder man braucht für eine bestimmte Genauigkeit.
Nach meinen Unterlagen kann man Theta E ]0;1[ wählen, wobei aber m.E. auch 0 oder die 1 genommen werden können.
So, jetzt aber zum Kern des Problems. Das ist die verdammte Situation, dass in meiner Lektüre immer wieder (Theta*x), xM, x und x1 durcheinander geworfen werden. Bis man rausgefunden hat, was gemeint ist, ist schon wieder früh und spät vorbei.
Daher: in Rn+1 - wird da nun x1 oder x eingesetzt, also der anzunähernde Punkt (x1) oder (Theta*x), also der Punkt wo ms und mt gleich sind, den man schätzen muss??
Das wäre die allerdringendste Frage jetzt, ansonsten klappt es mit der Taylorreihe, auch für die Zerlegung von f(x)=e^x*ln(x) (nicht zum Integrieren, sondern um den Funktionswert ohne e-Fn. am Taschenr. zu berechnen)
Bis dann
XXFuzzylogikXX |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 12:30: |
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Hallo,
Nochmals zum Restglied und zu theta:
Setzt man im Restglied
1/(n+1)!*h(n+1)*f(n+1)*(x0+theta*h)
den richtigen Wert für theta ein (0< theta <1), so
ergibt die Taylorreihe den genauen Wert für f(x).
Da man diesen theta-Wert nicht kennt, nimmt man (meistens, jedenfalls in allen Schüler Beispielen) theta =0 oder theta =1 weil damit der größtmögliche Fehler bestimmt werden kann, den man macht, wenn man die Tayllorreihe nach n Gliedern abbricht.
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Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 13:22: |
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Hallo Leute,
so, jetzt ist aber alles klar. Ich habe mir die Lagrange-Formel selber aus meiner Herleitung der Taylor-Reihe hergeleitet, und weiss jetzt, was was ist. Vorher das war ja alles Durcheinandr.
Mit Theta ist auch klar, man kann es aus dem Intervall 0-1 wählen, aber mit Zaphs Funktion ergibt sich, dass bei 1 nicht der grösstmögliche Fehler liegt.
Theta ist ja eine Bezeichnung für den Quotient Epsilon-x0 / h, und Epsilon ist der Punkt, wo ms und mt gleich sind, somit nach den Dreieckssätzen Delta Y, also das Restglied, ermittelt werden kann mit h*(Epsilon)` . So, wenn man jetzt Epsilon nicht genau trifft (was dann passiert, wenn man das falsche Theta wählt, x0 und h bleiben ja gleich, also schlägt der Fehler auf Epsilon durch), dann gibts ein falsches Delta Y bzw ein falsches Restglied. Bei mir hat sich aber ergeben, dass diese "Fehler im Fehler" nicht die Genauigkeit verschlechtert, da der Betrag des Fehlers durch falsches Theta AUS INTERVALL 0-1 immer kleiner ist als das Restglied.
Hieraus ergibt sich ja eine Begründung für die Einschränkung mit Theta.
Und bei der McLaurin-Reihe gibts nochn Unterschied zur Taylorreihe wegen dem ersten Glied f(x0), das gleich 0 werden kann. Man muss halt mit dem n aufpassen, weil n bei 0 anfängt zu zählen...
Schade dass ich nicht weiss wie eine Skizze einzustellen ist, sonst würde ich das mit Theta usw. mal reinmalen. Da sieht man alles deutlich.
Viele Grüsse
Euer
XXFuzzylogikXX |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 13:50: |
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McLaurin Reihe:
f(x0) kann sowohl bei der McLaurin Reihe als auch bei der Taylor Reihe gleich Null sein.
Falls x0=0 ist, so heißt die Taylor Reihe McLaurin Reihe.
Mit dem Wert der Funktion an dieser Stelle x0
hat dies nichts zu tun.
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Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 20:44: |
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Hallo Fern, hallo Leute,
das ist durchaus klar. Es kommt auf a an, also den Entwicklungspunkt. Der kann auch x0 heissen, ok.
Sagte ich ja, das ist soweit alles ok.
Jetzt habe ich aber eine feine Sache für alle Profis.
f(x) = e^x*ln(x) ist zu zerlegen. NICHT integrieren, nur mit Taylorreihe zerlegen. Versucht mal:
a=1 oder a=e
(a=0 geht ja nicht wegen undefinierter Ergebnisse)
Bei a=1 alterniert das Restglied bei steigendem n!!! Aber nicht gegen z.B. 0, sondern es wird grösser!
Was soll man dazu sagen?
Ich frage morgen auch mal meinen Physiklehrer, ob sich da ein Fehler eingeschlichen hat (glaube ich nicht, weil aus Zeitgründen habe ich die Ableitungen mit Derive gemacht), oder was hier los ist.
Ich schreib hier rein, was er gemeint hat, aber vielleicht fällt Euch ja auch schon etwas ein.
Viele Grüsse
Euer
XXFuzzylogikXX
P.S.: Theta hatte ich 0,75; das ergab bei meinen x1 immer gut zu rechnende Werte für fn+1(Theta*x1) |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 22:49: |
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Hallo Fuzzilogik,
muss gestehen, dass ich deinen Gedankengängen nicht immer komplett folgen kann. Z.B. vom 5.1. 14:22 den gesamten Absatz "Theta ist ja eine Bezeichnung ... immer kleiner ist als das Restglied." Woher sollen wir denn wissen, was für Buchstaben ihr für eure Herleitungen verwendet habt? Auch habe ich nicht deine letzte Bemerkung "Theta hatte ich 0,75; ..." gerafft.
Zu e^x*ln(x): Eigentlich müsste die Taylorreihe um a=1 entwickelt für 0<x<2 konvergieren (d.h. das Restglied geht gegen Null). Kann es sein, dass du dich verrechnet hast? Bin mal auf die weise Antwort deines Physiklehrers gespannt! |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 00:40: |
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Hallo Zaph,
ich leite das Ganze doch aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ab! Da kann Epsilon auch xM heissen. Es ist auf jeden Fall der Punkt, wo eben ms über x0 und x1 gleich ist von ms, also tan des Winkels zwischen der Näherungsfunktion und der Sekanten. Somit kann man doch wie im Dreieck das Restglied (Delta y) im Punkt x1 berechnen, und dies dem Funktionswert der Näherungsfunktion in Punkt x1 hinzuaddieren - und schon hat man (richtiges xM also vorausgesetzt) schon den Funktionswert der anzunähernden Funktion. In diesem Zusammenhang ist die Annäherungsfunktion eine konstante Funktion.
Ich hab das hier mit einer Skizze bildlich vor Augen, das ist klaro besser als mit den vielen Worten :-))) würde die Skizze auch einscannen und einstellen, vielleicht weisst Du wie das vonstatten geht? Ich dachte aber auch naiverweise, die Variablen wären doch immer dieselben - naja, sind ja schon in meinen Büchern unterschiedlich...
Mit der Taylorreihe kann ich mich durchaus verrechnet haben, weil Zeitdruck. Die Ableitungen stimmen jedenfalls, weil ich und das Mathematikprogramm zumindest für die ersten 4 die gleichen Ergebnisse haben. Die restlichen 4 habe ich dann so "übernommen" (Pfusch..;-). Ich werde sie aber nochmal nachrechnen.
Ha, ich habe aber auch x = 2, 3 und 4 genommen bei a=1. Wieso konvergiert denn die Folge nur für 0<x<2 ?? Wahrscheinlich ist es jetzt zu spät, so dass es mir nicht einfällt ;-)
Da bin ich aber jetzt gespannt!!! Genauso wie Du auf die Antwort des Physiklehrers, sofern er denn Zeit hat (nach den Ferien hat er aber bestimmt soviel aufgearbeitet, dass er Zeit genug hat, hehe).
Also bis dann, viele Grüsse,
Euer
XXFuzzylogikXX
P.S.: Theta=0,75 war halt mein "geschätztes" Theta, deshalb, weil ich dann bei x=4 z.B. bei Theta*x einfach mit 3 rechnen konnte in fn+1(Theta*x) Hat nicht viel zu bedeuten also. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 23:59: |
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Hallo Leute,
also mein Physiklehrer hat die Sache heute nur mitgenommen, und will sie ggf morgen wieder mitbringen. Hatte leider keine Zeit, das in 5 min zu prüfen...
Deshalb mache ich heute mal Englisch, sonst verlerne ichs ja noch.
Good luck,
Yours
XXFuzzylogikXX
P.S.: überwältigende Englischkenntnisse, nichwah? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2000 - 14:56: |
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Warum Konvergenz für 0 < x < 2?
Das ist gar nicht so einfach zu begründen. Lernt man in der "Funktionentheorie" (Theorie der differenzierbaren Funktionen von C nach C). Der Funktion nur von R nach R betrachtet kann man das nicht ansehen!
Zum geschätzten Theta = 0,75:
In der Physik darf man das vielleicht... |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2000 - 15:50: |
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Hallo Zaph,
na da bin ich ja beruhigt, dass man es nicht ansehen kann. Ich würde das mit C gerne ausbauen, aber leider steht im Moment BWL an, das Anwenden von Differentialrechnung...
Mit Theta: das hat nix mit meinem Physiklehrer zu tun. Was ist denn nun an Theta=0,75 auszusetzen? Wieso darf ich es hier nicht? Theta ist doch Element aus [0;1].
Mehr kann ich im Moment nicht sagen, da die Sache noch bei meinem Physiklehrer in Bearbeitung ist.
Viele Grüsse
Fuzzylogik |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2000 - 16:14: |
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Was an Theta = 0,75 auszusetzen ist: Es ist einfach nicht das richtige Theta! Es wäre zumindest ein großer Zufall, wenn es das wäre. Und so liefert dieses Theta bestenfalls eine Näherung, und du hast erstmal keinerlei Anhaltspunkte, wie gut diese Näherung ist. Mag ja sein, dass die Näherung für Beipiele aus dem "echten Leben" völlig ausreichend ist. Aber man kann Beispiele konstruieren, wo diese Näherunhg beliebig große Fehler liefert. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Januar, 2000 - 05:01: |
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Moin Zaph,
ja das war mir bewusst, dass mit 0,75 ein Näherungsfehler entsteht. Ich dachte, der ist vertretbar. Daher bereiten mir die beliebig grossen Fehler ein bisschen Bauchweh. Vor allem, weil wir hier ja des öfteren gemailt haben, dass das Theta aus [0;1] zu wählen sei.
Sobald mir die Unterlagen wieder vorliegen, werde ich mal anhand des Taschenrechners der Sache nachgehen.
Viele Grüsse
Fuzzylogik |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Januar, 2000 - 20:26: |
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6 Uhr am Sonntag - kommst du gerade nach Hause oder stehst du auf??
Das Theta mag zwar fast richtig sein, in der Restgliedformel steht aber die (n+1)-te Ableitung von f(x). Und wenn diese unanständig ist, mit riesigen Bergen und Tälern, kann man halt bei der falschen Wahl von Theta gehörig daneben liegen. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Januar, 2000 - 21:36: |
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Hallo Zaph,
wer sonntags um knapp 7 aufsteht, muss schon sehr wichtige Gründe haben :-) Ne, ich bin grad heimgekommen & hab mal die Mails abgerufen.
Ja klar, daran hab ich nicht gedacht, das wurde aus meiner Skizze nicht so ersichtlich. Als f(x) hatte ich eine feine Parabel, und als Annäherungsfunktion eine Konstante - ein Modell eben.
Ich hatte für eine andere Funktion auch Deinen Vorschlag wahrgenommen und das Restglied als Funktion von Theta bei ansosnten gleichen Parametern gemacht, das war auch schon ziemlich aufschlussreich...
So, wünsche zunächst noch einen netten Sonntagabend,
Tschüss
Fuzzylogik |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Januar, 2000 - 23:06: |
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Hallo Zaph, hallo Leute,
tja, leider ist unser Physiklehrer noch immer krank, so dass es mit der Stellungnahme noch hapert. Ich hoffe, es hat ihn nicht diese Aufgabe krank gemacht, das könnte ich mir nie verzeihen!
Viele Grüsse
XXFuzzylogikXX |
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