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Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 21:54: | 
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Hallo Leute,
Ich habe bei der Lösung folgender Aufgaben große Probleme. Bei den Kurvendiskussion schaffe ich meist noch nicht einmal die f(x)- Gleichung für den X-Achsenschnittpunkt = 0 zu setzen. Vielleicht könnt Ihr mir dabei helfen.
Frage:Klasse 13 Mathe-LK in NRW :
Aufagbe 1:
a)Kurvendiskussion von f(x)= (x-2e)*lnx (Wertebereich; Nullstellen; Verhalten an den Rändern; Extrem- und Wendepunkte und Zeichnung des Graphen)
1b) Berechenen Sie den Inhalt des Flächenstückes, das der Graph von f mit der x-Achse einschließt.
1c) Bestimmen sie u>0 so, dass die Gerade durch P(u;0) und den Extrempunkt von f die ausgerechnete Fläche von b) halbiert.
Aufgabe 2 :
Wie heißt die n-te Ableitung von f(x)=(3x²+4x-4): x² ?
Aufgabe 3:
a) Kurvendiskussion von f(x)= 32x:(x²+3)² (Symmetrie; Achsenschnittpunkte; Extrempunkte; Wendepunkte; Verhalten im Unendlichen und Zeichnung
b) Bestimmen sie den Inhalt des Flächenstückes, das durch die x-Achse, den Graphen von f und die Parallelen zur y-Achse durch die Extrempunkte von f begrenzt wird.
c) Bestimmen Sie die Punkte des Graphen, durch die die Parallelen zur y-Achse verlaufen müssen, damit eine doppelt so große Fläche eingeschlossen wird. Diskutieren Sie darauf aufbauend, ob auch eine Fläche mit dem inhalt 32:3 FE durch den Graphen beschreibbar ist.
Aufgabe 4:
Kurvendiskussion (Definitionsbereich; Achsenschnittpunkte; Extrempunkte; Wendepunkte und Zeichnung) von fa(x)= (x-a)e (hoch 2-(x:a)) aER+
Viel Spaß beim Rechnen.
Wäre echt super, wenn ihr dies herausbekommen würdet.
Dann sieht es nämlich gleich viel besser für mein Abi aus !
Danke im vorraus.
Eure Kathrin |
Bergy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 23:26: |
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Also:
1a) Wertebereich: x>0
Nullstellen
f(x)=0 ......
entweder Ln(x)=0 => x=1
oder (x-2e)=0 => x=2e =5.536...
Verhalten am Rand x=0:
x->0 (x>0) dann gilt f(x)-> +unendlich, denn
lim (ln(x))= -unendlich {unter lim steht x->0}
und lim(x-2e)=2e {unter lim steht wieder x->0}
Ableitung mit Produktregel:
f'(x)= 1*Ln(x)+(x-2e)* 1/x
=Ln(x) + 1 - (2e)/x
f''(x)= 1/x + 0 + (2e)/(x^2)= 1/x+(2e)/(x^2)
(Ableitung von durch umschreiben:
-(2e)/x = -2e x^(-1) -> ableiten: +2e x^(-2)=...)
Extrempunkte:
Notwendige Bedingung:
f'(x)=0 ....
unlösbar mittelsa Rechnen. Durch probieren:
f'(e)= Ln(e)+1- (2e)/e= 1+1-2=0
y=f(e)=...= -e
Test der hinreichenden Bedingung:
f''(e)=...=3/e > 0 d.h. P(e| -e)ist Minimum.
---
Wendepunkt:
f''(x)=0 ....
1/x+(2e)/x^2=0
da x ungleich 0 kann auf beiden Seiten mit x^2 multipliziert werden:
x+2e=0 , x= -2e <0 ist nicht im Definitionsbereich, deshalb hat f(x) keine Wendepunkte!
Weztetabelle:
x, y
0.5, 3.42177
1., 0
2., -2.38204
3., -2.67684
4., -1.9915
5., -0.702622
6., 1.00954
7., 3.0423
8., 5.33052
9., 7.82967
10., 10.5077
Leider weiss ich nicht wie ich Dir ne Graphik schicken kann :-( |
Bergy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 23:44: |
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1b) Partielle Integration
u'= x-2e
v=Ln(x)
-----
u= x^2/2 - 2ex
v'=1/x
----
Integral Untergrenze =1 Obergrenze 2e (das sind die Nullstellen)
2e
A= S f(x) dx = u*v - S v'*u =
1
2e 2e
= Ln(x) (x^2/2-2ex)| - S (x/2-2e) dx
1 1
2e
= Ln(2e) (2e^2-4e^2)-0 - (x^2/4-2ex)|
1
= Ln(2e) (-2e^2) - (e^2-4e^2)+ (1/4-2e)
= Ln(2e) (-2e^2) +3e^2+ (1/4-2e) =-8.04091
Fläche: F=|A|=+8.94981...
------------------- |
Bergy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 23:45: |
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Oops da hat etwas nicht geklappt:
Über jedem Integral S sollter oben 2e stehen und unten 1, genauso über und unter |...... |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Februar, 2000 - 09:51: |
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Hallo, hier der Graph zu der ersten Aufgabe:
Habe ich mit dem Online-Funktionenplotter auf der Hauptseite gemacht. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Februar, 2000 - 14:41: |
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Welche hauptseite meinste denn ? Wo kann ich Graphen zeichnen lassen ? Schreibe mal die Internetseite auf.
Könnt Ihr die anderen Aufgaben auch ? |
Ralf
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Februar, 2000 - 23:59: |
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Ist auf der Seite http://www.zahlreich.de
Rechts neben der Easybox Mathe sind ein paar Links (über dem Banner), auf dem einen steht Funktionenplotter.
Direkt dahin kommst Du auch, wenn Du hier klickst.
Ja, wir können die anderen Aufgaben auch. Aber erstmal. Hast Du es bis dahin verstanden? Wir wollen nicht als Abschreibservice verkommen, sondern Schritt für Schritt helfen.
Also, wenn Du es nicht verstanden hast, dann frage nach.
Wenn Du es verstanden hast, dann rechne die nächste Aufgabe weiter und frag nach, wenn Du hängenbleibst. Natürlich kannst Du auch die Ergebnisse zur Überprüfung hier hineinstellen.
Okay? Ralf |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2000 - 16:58: |
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Hi Bergy und Ralf,
ich habe schon alles verstanden, was Ihr mir da vorgerechnet habt, Danke noch einmal. Aber hast Du, Bergy, nicht einen Fehler bei der Integralrechnung gemacht ? Wenn ich nämlich für den ersten Teil (= Ln(x)*(x^2/2-2ex)) die Grenzen ( 1 und 2e) einsetze kommt bei mir folgendes heraus:( ln2e* 2e^2/2 - 4e^2)- (ln1* 1/2 - 2e*1) heraus => also : ln2e*e^2-4e^2-2e ? (Bei Dir fehlt das 1/2 in der 3. Zeile !
Meiner Meinung nach würde des dann wie folgt weitergehen :
(lnx* x^2/2 - 2ex) - (1/4 x^2 -2ex)
Nun setze ich die Grenzen ein:
(ln2e*2e^2/2 - 4e^2)-(ln1*1/2 - 2e*1)-(1*4e^2/4 - 4e^2)
= ln2e* e^2-4e^2-2e-e^2+4e^2)
= e^2ln2e-e^2-2e
=> I-0,31I = 0,31 FE
Oder ? Was sagste dazu ?
Aufgabe 1c :
m= y2-y1/x2-x1
=> -e-0/e-u = -e/e-u
Y=mx+b (Punkt und Steigung m einsetzten)
0= (-e/e-u)*u +b
=> b= eu/e-u
Y=(-e/e-u)x+ eu/e-u (müßte die Geradengleichung sein )= g(x)
Fe aus b = o,31
1/2* 0,31 = 0,155
Integral von (g(x)- f(x))
(-e/e-u)x+eu/e-u = (x-2e)*lnx
Ab hier bekomme ich allerdings meine Probleme !
Aufgabe 2 :
Da habe ich gar keine Ahnung wie ich das Angehen so, hilf mir doch bitte !
Aufgabe 3:
f(x)= 32x/(x^2+3)^2
Symmetrie : f(-x) = f(x) => Punktsymmetrie
-32x/(-x+3)^2 = -32x/(x^2+3)^2
Achsenschnittpunkte f(0= 32*0/0^2+3)^2 = 0/9 =0
=> P(0;0)
0= 32x/(x^2+3)^2 => 32x=0 => x= 1/32*0=0 => P(0;0)
Extrempunkte :
HP (1;2) und TP (1;-2) Richtig ? Sonst schreibe ich Dir noch meine ganze Rechnung auf !
Wendepunkte :
P(Wurzel aus 3; 1,54) und P(- Wurzel aus 3; -1,54)
3b)Grenzen 0 und 1
2*S 32x/(x^2+3)^2 dx = ? mit Substitution ?
3c) ?
Aufgabe 4:
D=IR
Achsenabschnittspunkte :
0= (x-a)+e^2-x/a /:(x-a)
e^2-x/a =0
da e^0 =0 => 2-x/a=0
x/a=2
x=2a => P(2a;0)
f(o)= -a*e^2-0/a
= -a*e^2
=> P(0; -ae^2)
1. Ableitung = f`(x) = 1*e^2-x/a * (2-x/a) +e^1-x/a ?????
und weiter ??
Bis denne, Kathrin |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2000 - 21:24: |
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Hallo Kathrin, zu Aufg. 2:
erstmal umschreiben:
f(x) = (3x²+4x-4) : x² = 3 + 4(x-1 - x-2)
Zum aufwärmen dann ein paar Ableitungen berechnen:
f'(x) = 4(-x-2 + 2x-3),
f''(x) = 4(2x-3 - 6x-4),
f'''(x) = 4(-6x-4 + 24x-5),
(mach noch zwei, drei mehr!)
Jetzt eine Vermutung aufstellen:
f(n) = 4((-1)n*n*(n-1)*...*2*1*x-n-1 + (-1)n+1*(n+1)*n*(n-1)*...*2*1*x-n-2)
Vereinfachen:
f(n) = 4n!(-1)nx-n-2(x - n - 1)
"n!" ist "n Fakultät" = 1*2*...*(n-1)*n.
Das kannst du jetzt glauben (mit dem Argument "usw.") oder auch mit vollständiger Induktion beweisen. |
Kathrin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2000 - 06:42: |
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Kannst Du das mit vollständiger Induktion ? Stehe nämlich total auf dem Schlauch, weiß gar nicht wie ich das machen so !! |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2000 - 22:02: |
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Kathrin, klar kann ich das, eine meiner leichtesten Übungen :-)
Sei gn(x) = 4n!(-1)nx-n-2(x - n - 1).
Behauptung:
Für n>0 gilt f(n) = gn.
Beweis mit vollständiger Induktion.
Induktionsanfang, n=1:
g1(x) = 4*1!*(-1)1x-1-2(x - 1 - 1) = 4*1*(-1)x-3(x - 2) = 4(-x-2 + 2x-3) = f(1)(x) = f'(x) (siehe oben!).
Induktionsvorausetznug: f(n) = gn.
Induktionsbehauptung: f(n+1) = gn+1.
Beweis:
f(n+1)(x) = gn'(x) (nach I.V.)
Es gilt (ausmultiplizieren!)
gn(x) = 4n!(-1)n(x-n-1 - (n+1)x-n-2).
Also
gn'(x) = 4n!(-1)n((-n-1)x-n-2 - (n+1)(-n-2)x-n-3)
= 4n!(-1)n(-(n+1)x-n-2 + (n+1)(n+2)x-n-3)
und andererseits:
gn+1(x) = 4(n+1)!(-1)n+1x-(n+1)-2(x - (n+1) - 1)
= 4n!(n+1)(-1)n(-1)x-n-3(x - (n+2))
= 4n!(-1)n(-(n+1)x-n-3x + (n+1)(n+2)x-n-3)
= 4n!(-1)n(-(n+1)x-n-2 + (n+1)(n+2)x-n-3)
Also f(n+1)(x) = gn'(x) = gn+1(x). q.e.d. |
Kathrin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 13:06: |
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Kannte mir bei den anderen Aufgaben auch helfen ? |
Ralf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 16:08: |
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Bei welcher Aufgabe bist Du wo hängengeblieben. Schreib mal soweit auf, wie Du selbst kommst, dann helfen wir weiter.
Ralf |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2000 - 14:23: |
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Steht doch oben, wo ich Probleme habe. |
f.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2000 - 23:13: |
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ist anonym=kathrin, da blicke ich nicht durch ...? |
Kathrin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2000 - 15:43: |
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Hey hier da, die die mir helfen wollen,
also zuerst einmal anonym = Kathrin ist richtig.
Ich würde mich echt riesig freuen, wenn Ihr mir bei den Aufgaben helfen könntet. Die Nachricht von Dienstg, den 22.02 17.58h ist auch von mir. In dieser Nachricht habe ich Euch meine Probleme mit den Aufgaben geschickt. Ich komme bei den verschiedenen Stellen einfach nicht weiter. Helft Ihr mir ? Wäre echt lieb !
Bis demnächst, Kathrin |
EinmalEins
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 19:38: |
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Generell ist es sehr mühsam, die Zeilen zu lesen, wenn man nicht die Formatierung verwendet, z.B. ex kann man hier erreichen, indem man eingibt: e\+{x}
Ist am Anfang etwas ungewohnt, aber liest sich tausendmal besser und alle haben Lust die Frage zu beantworten :-)
Dann würde ich auch nicht so viele komplexe Fragen in einen Beitrag schreiben, sondern da mehrere Beiträge machen. Hier muß einer ja erst mal eine halbe Stunde lesen, bis er die richtige Zuordnung findet.
Kathrin, ich versuche mal, Dir weiterzuhelfen:
Ich zitiere mal Deine Frage(n) vom 22.02. 17.58h:
Aber hast Du, Bergy, nicht einen Fehler bei der Integralrechnung gemacht ? Wenn ich nämlich für den ersten Teil (= Ln(x)*(x^2/2-2ex)) die Grenzen ( 1 und 2e) einsetze kommt bei mir folgendes heraus:( ln2e* 2e^2/2 - 4e^2)- (ln1* 1/2 - 2e*1) heraus => also : ln2e*e^2-4e^2-2e ? (Bei Dir fehlt das 1/2 in der 3. Zeile !)
Antwort:
Du hast eine Klammer vergessen, es heißt: ln(2e)*(2e)²/2 - 4e² - [ln(1)*(1/2 - 2e)] = ln(2e)*2e² - 4e² (Rest fällt weg, da ln1=0).
Aufgabe 2 :
Wie heißt die n-te Ableitung von f(x)=(3x²+4x-4):x² ?
Antwort:
Nicht den Fehler machen und sich da mit der Quotientenregel totrechnen. n! kennst Du sicher (Fakultät).
Es gilt ja: f(x)=3+4/x-4/x²
=> f'(x)=-4/x²+8/x³
=> f''(x)=8/x³-24/x4
=> ....
=> ....
=> für n>0: f(n)(x)=[(-1)n*4n!]/xn+1+[(-1)n+1*4(n+1)!]/xn+2
Hoffe, Du hast es verstanden? Jetzt habe ich keine Zeit mehr.
Wegen den anderen Fragen ....
was jetzt noch offen ist, empfehle ich Dir, in konkrete einzelne Fragen aufzuteilen und jeweils einen neuen Beitrag aufzumachen. Geht dann am schnellsten |
hastdu (Hastduworte)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 20:27: |
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kann mir jemand sagen wie der grundstoff der 4. klassen in schleswig holstein ist? |
Moritz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 20:44: |
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Sehr schwer! |
Kai
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 18:41: |
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Hastduworte, bitte frage nochmal in der geeigneten Rubrik.
kai |
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