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gueni
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2000 - 14:05: | 
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Hallo,
ich muss in ungefähr 1 Wo. ein Referat zum Thema Eulerscher Zahl abhalten und habe trotz meiner Bemühungen noch einige Fragen ungeklährt.
1. Was ist die Eulersche Zahl ( ich weiss, das des sich um eine keine Rationale Zahl handelt, aber wie kann ich das beweisen ? )
2. Wofür verwende ich die Eulersche Zahl ?
3. Wie ist Sie definiert ?
Ich habe zwar schon die vollständige Herleitung
in einigen Büchern zusammengeschrieben kann aber mit den einzelen Rechenschritten nichts anfangen,
bzw. nicht deuten. was mich zum
4. Punkt bringt wie kann ich die Rechenschritte erklären ?
Es wäre nett wenn Ihr mir helfen könntet denn aus
der verbreiteten Fachliteratur bin ich nicht schlau geworden.
DANKE
Gueni |
Franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2000 - 17:22: |
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Die Transzendenz der Eulerschen Zahl (was über die Nichtrationalität noch hinausgeht) wurde meines Wissens 1873 von Charles Hermite nachgewiesen.
Gibt es für Deine Arbeit eine konkrete Fragestellung oder kannst Du frei rumlabern? In diesem Fall wäre etwas Historie denkbar (Leonhard Euler abendfüllend), Definition, Folgen, Reihen, Ableitung, Integral, Exponentialfunktionen (Kapital, Populationen, Radioaktivität...).
Nach Euler ist sehr vieles benannt (damals lernten die Mathematiker deutsch), zum Beispiel auch die Eulersche Konstante C, nicht mit e zu verwechseln. |
Sternenfuchs
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2000 - 17:43: |
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Falls du es nicht weißt
Esgibt auch noch einen Zusammenhang zwischen p und e
und zwar: epi-1=0 |
Franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2000 - 21:55: |
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Oder einfacher: e^pi? |
habac
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 09:08: |
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Hi gueni
wenn ihr die Eulersche Zahl als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definiert habt, so kann ich dich für die Irrationalität von e auf die Seite
Klasse 8 bis 10/Exponentialfunktion/Eulersche Zahl
verweisen, wo ich vor einigen Wochen einen Beweis hingeschrieben habe. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 09:41: |
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Hi Gueni,
Es wird nützlich sein, wenn wir einzelne Deiner Fragen im Detail bearbeiten
und zwar am besten durch verschiedene Autoren.
Zuerst zur Frage der Transzendenz und insbesondere zur Irrationalität von e .
Eine Zahl heisst ( bekanntlich ? ) transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer
algebraischen Gleichung beliebigen Grades an * x ^ n + .. + a1 * x + a o = 0
mit ganzzahligen Koeffizienten ak auftreten kann , andernfalls heisst die Zahl algebraisch.
Der Beweis der Transzendenz von e ist - wie schon Franz erwähnte -
1873 von Charles Hermite (1822-1901) gefunden worden,.
Erst 9 Jahre später gelang Ferdinand Lindemann (1852-1939) der Beweis für die Transzendenz von Pi..
Die heute durchgeführten Beweise (für Studenten der Mathematik in mittleren Semestern) beanspruchen - je nach bereitzustellenden Mitteln - vier bis sechs Druckseiten !
Für den Irrationalitätsbeweis von e reichen naturgemäss bescheidenere Mittel aus , welche auch Mittelschülern der obersten Klassen zur Verfügung stehen.
Der folgende Irrationalitätsbeweis ist ein treffliches Beispiel eines sogenannten indirekten Beweises.
An Vorkenntnissen benötigen wir die Formel von Taylor mit Restglied von Lagrange für f (x) = e ^ x :
e ^ x = 1+x /1 ! + x ^ 2 / 2 ! + x ^ 3 / 3 ! + .. + x^n /n! + x^(n+1) /(n+1)!.* e^ t
mit 0 < t < 1 ( t hängt übrigens von n ab, spielt aber im folgenden keine Rolle) ; wir setzen x = 1 und erhalten:
e = 1 + 1 / 1! + 1 / 2! + 1 / 3 ! + .... + 1 / n ! + 1 / ( n + 1 ) ! * e ^ t (Formel I )
aus 0 < t < 1 folgt: 1 < e ^ t < e < 3 (Formel II)
Wäre nun e rational , d.h. wäre e = p / q ( p , q positiv ganz) , so könnten wir mit Sicherheit eine positive ganze Zahl n wählen, grösser als 2 und insbesondere grösser als q so , dass
n! * e = n ! * p / q selbst eine natürliche Zahl wäre (Aussage A) Andrerseits folgt aus Formel I durch Multiplikation beider Seiten mit n ! :
n! * e = n! + n! + n! / 2 ! + n! / 3 ! +... + 1 + n! / ( n + 1 ) ! * e ^ t =
= 2 * n! +n! / 2 ! + n! / 3 ! + .... + 1 + 1 / ( n + 1) * e ^ t
Nach Aussage A ist die linke Seite positiv ganz , daher auch die rechte,
insbesondere ist auch der letzte Summand rechts eine positive ganze Zahl.
Wegen Formel II kann aber e ^ t / ( n + 1 ) keine ganze Zahl sein .
Damit stellt sich ein Widerspruch ein , und unsere Annahme, e sei ein Bruch
p / q mit ganzem Zähler und ganzem Nenner trifft nicht zu , wzbw.
Du solltest diesen Beweis mehrmals durcharbeiten ; man braucht eine gewisse
Angewöhnungszeit, bis das AHA - Erlebnis kommt !
In diesem Sinne freundliche Grüsse von H.R. |
ich
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 19:29: |
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ganz interessant, das mit der zahl e.
kann mir jemand von euch sagen, wo ich den transzendenz-Beweis nachlesen kann? |
annek
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 14:03: |
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Hey, diese bescheuerte eulersche Zahl habe ich auch gerade in Mathe!!!! |
Neueinsteiger1@gmx.de
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 13:21: |
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Hallo ich!
Den beweiß kannst Du zB. im Buch
Pi - Die Story
nachlesen
Gruss |
Nikkola
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 20:09: |
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Hallo Güni!
Ich bin in der selben Situation wie du, muss auch ein Referat über die Eulersche zahl schreiben. Wollte mich mal erkundigen, ob du mir dein Referat nicht mal rübermailen kannst, wenn du fertgi bist. Email steht unten. Wäre total lieb von dir!
tschüss
Nikkola  |
Tydus
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 16:04: |
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toll, ich muss auch grad ein referat über die eulersche zahl halten, aber ich muss morgen schon abgeben. nein ich war nicht faul, wir haben die themen heute erst bekommen, es soll kein allzu umfassendes referat sein, aber ich hab keine ahnung was ich da reinschreiben soll. nur so aus neugier, kann mir jemand sagen wo man vielleicht ein fertiges referat zum thema downloaden kann |
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