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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 17:37: | 
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Hallo,
kann mir jemand von euch bei folgender Aufgabe helfen.
Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt von 1dm2 hat das größte Volumen??????????
Vielen Dank schon mal im Vorraus. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 05:34: |
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B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 14:51: |
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Hallo Anonym,
die Aufgaben hinter den oben aufgeführten Links bieten zwar alle ein brauchbares Endergebnis an, wenn du deine Zahlen dort einsetzt, aber letztendlich wird bei allen das Minimum der Oberfläche bei gegebenem Volumen gesucht, und nicht, wie bei dir, das Maximum des Volumens bei gegebener Oberfläche.
Das Endergebnis muss natürlich dasselbe sein, nur der Weg ist schon ein klein wenig anders.
allgemeine Oberfläche sei O, allg. Volumen V
O = 2pr2 + 2prh
V = pr2h
wobei mit r der Radius und mit h die Höhe des Zylinders gemeint ist.
Gesucht ist also das Maximum von V bei gegebenem O.
in V(r,h) kommen noch zwei Variablen vor.
Stelle nun die Gleichung von O nach einer der beiden um und ersetze sie in V (Die Gleichung von O entspricht der Nebenbedingung bei allgemeinen Extremwertaufgaben, worunter diese Aufgabe eigentlich gehört hätte, Integral kann man zwar auch anwenden, aber ich setze die O- und V- Formel mal als bekannt voraus).
Da h nur an einer Stelle bei O vorkommt, ist es leichter, diese Gleichung nach h umzustellen:
O = 2pr2 + 2prh | - 2pr2
O - 2pr2 = 2prh | : (2pr)
(O - 2pr2)/(2pr) = h
setze dieses h in V ein:
V(r) = pr2(O - 2pr2)/(2pr)
V(r) = (O - 2pr2)*r/2
V(r) = O*r/2 - p*r3
Ableiten nach r:
V'(r) = O/2 - 3pr2
Das Maximum ist gesucht. Also setze V'(r) = 0
O/2 - 3pr2 = 0
O/2 = 3pr2 | : (3p)
O/(6p) = r2 | Wurzel ziehen
Ö(O/(6p)) = r
Zweite Ableitung V"(r) bilden und dies r dort einsetzen:
V"(r) = -6pr < 0 für alle positiven r
Also liegt wirklich ein Maximum vor.
Für diesen speziellen Fall, wo die Oberfläche vorgegeben ist, kannst du hier aufhören und O = 1 dm2 einsetzen, es kommt dann r = 0.23033...dm in etwa heraus. Dann setzt du dies in die Formel für h ein: h = (O - 2pr2)/(2pr)
und es ergibt sich h = 0.46066...dm in etwa.
Allgemein rechnest du so weiter:
erhaltenes r in h = (O - 2pr2)/(2pr)
einsetzen führt auf
h = (O - 2pO/(6p)) / [2pÖ(O/(6p))]
h = Ö[2O/(3p)]
bildest du nun das Verhältnis von h und r, so stellst du fest, dass
h : r = Ö[2O/(3p)] : {Ö[O/(6p)]}
h : r = 2
also muss ein Zylinder allgemein so beschaffen sein, dass Durchmesser und Höhe gleich groß sind, damit er bei gegebener Oberfläche größtes Volumen hat. |
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