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Anuschka
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 17:43: | 
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Ich soll folgendes Integral berechnen:
int(x*tan²(x))dx untere Grenze=0 obere Grenze=pi/4 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 21:00: |
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Hi Anuschka
Als Grundlage dient uns die Formel für die Ableitung der
Tangensfunktion,
das Integal der Tangensfunktion, sowie
die Methode der partiellen Integration.
y = tan x hat als Ableitung:
y ' = 1 / [cos x]^2 = 1 + [ tan x] ^ 2 ; diese letzte Version
brauchen wir für das Integral
int [ (tan x) ^2 * dx ] = tan x - x wie man sofort erkennt.
int [tan x * dx ] = - int [ ( - sin x) / ( cos x ) * dx = - ln (cos x)
Beachte: im Zähler steht die Ableitung des Nenners;
das führt auf den log. des Nenners
Jetzt sind wir gerüstet, mit partieller Integration zu beginnen.
Es wird u' = (tan x)^2 , u = tan x - x nach der Vorbereitung, somit:
int [ x*(tan x)^2 ) * dx =x*(tan x - x ) - int [1 *( tan x - x) * dx]
= x * tan x - x ^ 2 + ln cos x + x ^ 2 / 2 =
= x * tanx - x ^ 2 / 2 + ln cos x
Werden die Grenzen eingesetzt , so ist der gesuchte Wert z:
z = ¼ * Pi - 1/32 * Pi^2 -1/2 * ln 2 ~ 0.1303994356.
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath. |
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