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Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2000 - 15:45: | 
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Für jedes t>0 ist eine Funktion ft gegeben durch
ft(x)=t * (x-x²) ; x E R.
Ihr Schaubild sei Ct.
a) Gib die Schnittpunkte von Ct mit der x-Achse an.
Das Schaubild Kt einer ganzrationalen Funktion gt dritten Grades hat mit Ct
die Schnittpunkte mit der x-Achse gemeinsam.
Im linken Schnittpunkt berührt Kt die Kurve Ct , im rechten Schnittpunkt
schneidet Kt die Kurve Ct rechtwinklig.
Bestimme die Gleichung von gt .
Zeichne C1 und K1 mit Hilfe einer Wertetafel (Schrittweite 0,25) im Bereich
-0,25 <(kleiner/gleich)x<(kleiner/gleich)1,25.(LE 4cm)
b) Ct und Kt schneiden sich nur auf der x- Achse und begrenzen eine Fläche mit
Inhalt A(t).
Berechne A(t).
Für welches t ist der Flächeninhalt extremal?
Was für ein Extremum liegt vor?
c) Kt besitzt außer den mit Ct gemeinsamen Achsenschnittpunkten einen dritten
Schnittpunkt St mit der x-Achse.
Berechne die Koordinaten von St .
Bestimme t so, dass der Punkt St ein Wendepunkt von Kt ist. |
H.R.Moser,gigamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Februar, 2000 - 18:59: |
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Hi , Hi, Anonimus,
In der Tat : Du servierst uns eine recht nahrhafte Aufgabe als Sonntagsmenü
1.Gang ( Vorspeise I): Die Schnittpunkte mit der x-Achse ergeben sich leicht als Nullstellen der Funktion f t ( x ) aus ihrer Faktordarstellung; es sind die Punkte
P1 ( 0 / 0 ) und P2 (1 / 0 ) .
2.Gang (Vorspeise II) : Ermittlung der Funktionenschar g t : Da zwei Nullstellen vorgegeben sind, nämlich x = 0 und x =1 , wählen wir für g t als Ansatz am besten die Faktorzerlegung
von g t : y = a * x * ( x -1 ) * ( x - x 3 ) mit den noch unbekannten Werten a und x3 , wobei x3 die dritte Nullstelle der Funktion g t ist Für einen späteren Gebrauch lösen wir noch Klammern auf ; wir erhalten g t : y = a * (x^3 -x^2 -x3*x^2 +x3*x ) (Formel 1)
3.Gang ( Salatbuffet ) : Wir leiten ab und bestimmen die Steigungen der Kurven in den Punkten P1 und P2.
f t : y = - t* x^2 + t x ; Ableitung y ' = - 2 t*x + t , Steigung u für x = 0 : u = t, Steigung v für u = 1 : v = - 2*t + t = - t .
g t: (Ableitung aus der Summenform) y ' = a * (3 x^2 - 2 x - 2 x3 *x + x3 )
Für x = 0 muss die Ableitung wegen der Berührbedingung mit u übereinstimmen , also:
a * x3 = u = t oder x3 = t / a (Formel 2)
Steigung w von g t für x = 1 durch Einsetzen: w = a*( 3 -2 - 2 x3 + x3) = a* (1 - x3 )
Senkrechter Schnitt für x =1 : Das Produkt der entsprechenden Steigungen von f t und g t
ist - 1 , d.h es gilt v * w = - 1 oder : ( - t ) * a * ( 1 - x3 ) = - 1 , vereinfacht:
a = 1 / ( t* ( 1 - x3 ) ) (Formel 3)
Mit Formel 2 und Formel 3 errechnen wir ohne Mühe a = t + 1 / t und x3 = t^2 / (1 + t^2 )
Hurra ! wir haben auch den ersten Teil der Frage c) eo ipso gelöst: der dritte Schnittpunkt St ist gerade der Punkt P3 mit der x- Koordinate x3 von soeben . Aus dem Ergebnis ist ersichtlich, dass der Punkt P3 stets zwischen den Punkten P1 und P2 liegt.
Setzt man nun die Werte für a und x3 in Formel 1 ein , so erhält man die verlangte Gleichung für gt :
y = (t +1 / t) *x^3 - (2*t +1 / t ) *x^2 + t* x (Formel 4)
4:Gang (Bouillon mit Gelbem vom Ei ): Die Gleichungen der Kurven, welche Du graphisch darstellen sollst, ergeben sich, wenn Du t =1 wählst; Du bekommst :
f1(x) = - x^2 + x , g1(x) = 2 x^3 - 3 x^2 + x .
Diesen Gang lasse ich aus !
5.Gang ( Hauptgang ):Die Integration der Differenz
Dt(x) = f t (x) - g t(x) = - (t + 1 / t ) * x^3 + ( t + 1/t ) * x^2 in den Grenzen x = 0 bis x = 1 stellt die gesuchte Fläche A = A ( t ) zwischen den Kurven dar.
Achtung: :x ist die Integrationsvariable , t ist beim Integrationsvorgang konstant !
Wir erhalten : A(t) = 1/12 * (t + 1 / t ) .Die Ableitung ( nach t ! ) ergibt ::
A ' (t) = 1/ 12 * ( 1 - 1 / (t^2)) mit den Nullstellen t = 1 und t = -1 . Nur t = 1 ist brauchbar
und liefert das relative und absolute Minimum , wie man sofort erkennt.
6.Gang ( Dessert ): Es bleibt uns noch , den x-Wert des Wendepunktes von Kt zu bestimmen
Wir beide wissen, dass dieser mit der Nullstelle der zweiten Ableitung übereinstimmt.Daher leiten wir Formel 4 zweimal nach x ab:
y ' = (t + 1 / t) * 3 * x^2 - 2 x * ( 2 t + 1 / t ) + t
y'' = 6 * ( t + 1 / t ) * x - 2* ( 2 t + 1 / t )
Aus y '' = 0 folgt x w = ( 1 + 2* t^2) / ( 3 * ( 1 + t^2 ))
Die Gleichsetzung mit x3 = t^2 / ( 1 + t ^2 ) (siehe weiter oben ) ergibt
das Resultat t = 1 ; dieser Wert spielte schon im 4. Gang eine Rolle ! Siehe beim Graphen nach dem Wendepunkt der Kurve K1 und verifiziere damit unser Resultat.
Gute Erholung nach diesem üppigen Mal wünscht
H.R.
. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. März, 2000 - 19:18: |
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Hallo,kann mir mal jemand bitte helfen?
Der Anfang einer Aufgabe beginnt mit der Bestimmung der Funktionsgleichung, ohne die ich natürlich keinen Schritt weiter vorankomme!!!
Eine ganz-rationale Funktion 3.Grades hat an der Stelle x=-1 eine Nullstelle. Der Graph von f schneidet die Y-Achse bei 2. Der Graph berührt die X-Achse an der Stelle x=2.
Ich dachte mir also: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; und: f(-1)=0 ; f(0)= 2 ; f(2)=0 ; f'(2)=0 und dann???
Stimmt das überhaupt?
Wie geht es weiter?????? Nadice. |
Franz
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. März, 2000 - 20:49: |
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Ansatz f(x)=ax^3+bx^2+cx+d; Bedingungen f(-1)=0, f(0)=2, f(2)=0, f'(2)=0. Vier Unbekannte, vier Gleichungen -> d=0; -a+b-c=0; 8a+4b+2x=0; 12a+4b+2x=0 also noch drei Gleichungen für die drei Unbekannten a,b,c. Kommst Du damit weiter? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. März, 2000 - 21:09: |
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Hi Anonymus,
Das geht sehr bequem, wenn Du die Faktorzerlegung der Polynomfunktion heranziehst.
Diese lautet, wenn x1, x2, x3 die Nullstellen sind, so:
y= a ( x -x1) (x -x2) (x -x3) mit einer noch zu bestimmenden Konstanten a
Für Deinen Fall erhalten wir :
y = a ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x- 2 )
Berührung der x-Achse bei x = 2 bedeutet , dass dort eine zweifache Nullstelle vorliegt, nämlich x 2 = x3 = 2 .
Für x = 0 gilt y = 2 , durch Einsetzen findest Du a = 1 / 2.
Also y = ½ ( x+ 1) (x - 2 ) ^2
Durch Ausmultiplizieren erhälst Du die Summendarstellung y = a x^3 + b x^2 + c x + d .
Fertig
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. März, 2000 - 21:18: |
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Achtung: d ist nicht null , sondern 2,wenn die Kurve durch den Punkt (0/2) auf der y-Achse gehen soll ! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. März, 2000 - 22:18: |
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Vielen, lieben Dank, endlich komm ich weiter!!!
Habe die Aufgabe schon gestern abend ohne Erfolg hier zum "rumliegen" eingereicht,endlich habe ich Erfolg damit! Wenn ich den Anfang jetzt dann vollenden kann, mit Extrema, Wendepunkte, etc. dann hoffe ich, dass noch jemand für den Rest der Geschichte da ist zumm Helfen!!! (Flächeninhalt von Rechteck berechnen, der sich wiederum in Dreieck befinden, igitt!)
Danke nochmals an H.R. von Nadice |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. März, 2000 - 22:32: |
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Hallole, die Geschichte geht weiter: In das "Dreieck"(natürlich kein "astreines" Dreieck), das der Graph von f aus der vorigen Aufgabe mit der X und Y-Achse bildet, soll ein Rechteck so einbeschrieben werden, dass sein Flächeninhalt maximal groß wird.Wie lang sind die Seiten dieses Rechtecks?
2.) Die Gerade y=2x-4 schneidet den Graphen von f aus Aufgabe 1.) in den Punkten P1 und P2 im ersten Quadranten.Inhalt der Fläche berechnen,die von der Geraden u. dem Graphen von f eingeschlossen wird. Dabei die "Keplersche Fassregel" benutzen, für den Flächenteil, der sich nicht auf herkömmliche Weise berechnen läßt!
?????????????????Hä? Hilfe! Franz oder H.R.Moser, wo seid ihr????????? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 11:22: |
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Hi Anonymus,
Wir gehen aus von der gestern mit einiger Mühe aufgestellten kubischen Funktion :
y = ½ ( x + 1) (x - 2) ^ 2 = ½ ( x ^ 3 - 3 x ^ 2 + 4 )
Der ersten Ableitung y ' = ½ (3x ^2 - 6 x ) = 3/2 x (x -2) entnehmen wir den Hochpunkt H ( 0 / 2 ) und den Tiefpunkt T ( 2 / 0 ),
der zweiten Ableitung y'' = 3 ( x - 1 ) den Wendepunkt W (1 / 1 ) .
Nun bestimmen wir die Fläche A eines im ersten Quadrant liegenden Rechtecks von welchem eine Ecke im Ursprung und die gegenüberliegende Ecke auf der Kurve liegt. Die Seiten dieses Rechtecks seien : u auf der x-Achse und v auf der y-Achse.
Weil die Ecke Pu/v) auf der Kurve liegt, gilt v = ½(u^3 -3u^2 +4).
Damit erhalten wir die Fläche A als Funktion von u :
A = A(u) = u * v = ½ (u^4 -3*u^3 + 4u).
Wir leiten A(u) nach u ab und erhalten A ' (u) = ½ ( 4 u ^ 3 - 9 u ^2 + 4 ).
Um das Maximum von A zu bekommen, müssen wir die Nullstellen der kubischen Funktion in u in der Klammer ermitteln. Wir brauchen nicht Cardano zu bemühen, sondern wir spüren, dass u = 2 eine Lösung ist und spalten diese durch Polynomdivision ab :
(4u^3 - 9 u^2 + 4) : ( u - 2 ) = 4 u ^2 - u - 2 . Jetzt brauchen wir nur noch die Nullstellen der
quadratischen Funktion rechts vom Gleichheitszeichen zu bestimmen. Als einzige Lösung kommt in Frage:
u = (1+ wurzel 33 ) / 8 , Näherung: u = o.8431. Daraus ergibt sich aus der Gleichung für f(x):
v = f(u) = 1.2335.
Fortsetzung folgt.
Es stellt sich mir noch eine Frage: Was hat die Keplersche Fassregel mit der gestellten Aufgabe zu tun ?. Handelt es sich auch um eine Volumenberechnung ? Bitte um Antwort.
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 17:00: |
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Hallo H.R.!Ich nehme an ,das sich beim letzten Teil der Aufgabe ein Flächenteil befindet, der nach Ansicht meines Lehrers nicht anders berechnet werden kann (soll?).Er schreibt wörtlich bei der Aufgabe:....Benutzen Sie dabei die Keplersche Fassregel f ü r d e n Flächenteil, der sich auf herkömmliche Art nicht berechnen lässt.Leider habe ich die letzten zwei mal in meinem Grundkurs gefehlt, nun fehlt mir einiges Wissen,da wir in letzter Zeit recht zügig vorangehen.Und am 20.kommt ´ne Klausur, die mir jetzt schon wehtut!!
Gruß, Nadice. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 17:17: |
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Hey,H.R.!Ich glaube, n i c h t das"Dreieck",dass der Graph mit den Koordinatenachsen bildet,oder das sich darin befindliche maximale Rechteck sollte man mit der Keplerschen Fassregel berechnen(habe die Kurve geradegezeichnet). Sondern die Fläche, die die Gerade Y=2x-4 mit der obigen Kurve bildet.Erinnerung: Die Gerade Y=2x-4 schneidet den Graphen von f aus Aufgabe1.) in den Punkten p1 u. p2 (Schnittpunkte)im ersten Quadranten.Inhalt d e r Fläche berechnen die von der Geraden und dem Graphen von f eingeschlossen wird. Dafür die Regel dann benutzen. Kannst du das? Gruß, Nadice. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 18:40: |
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Hallo Nadice,
Ich habe die Aufgabe nicht von Anfang an verfolgt
und hoffe, dass ich die Aufgabenstellung richtig
verstanden habe:
Gegeben f(x) = x³/2 - 3/2x² + 4
und die Gerade: g(x)= 2x-4
Zu berechnen das im ersten Quadranten liegende
Flächenstück zwischen der Geraden und der Kurve
und zwar mit der Fassregel von Kepler.
========================================
Die Kepler Regel ist nichts anderes als die Simpson
Regel mit nur zwei Intervallen.
A = h/3* (y0 + 4y1 + y2)
========================
h ist die Intervallbreite.
Schnittpunkte von g(x) und f(x) bei x=2 und x=3
Wir teilen dieses Intervall in zwei Teile und
erhalten die Intervallgrenzen: (mit h = 0,5)
x0 = 2
x1 = 2,5
x2 = 3
Die dazugehörigen Ordinaten sind die Differenz-
ordinaten g(x)-f(x), also
y0 = 0
y1 = g(2,5) - f(2,5) = 0,5625
y2 = 0
damit wird A = 0,5/3* (0 + 4*0,5625 + 0) = 0,375 = 3/8
Dieser Näherungswert für die Fläche stimmt
in unserem Beispiel mit dem genauen
Wert überein.
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H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 18:59: |
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Bravo Fern ! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 19:03: |
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Hallo Fern! Danke für´s Interesse,bin immer noch nicht fertig mit der Aufgabe. Also paß auf: Bei Teil 1.) wird eine ganzrationale Funktion 3.Grades gesucht, deren Gleichung man bestimmen soll und anschließen d Nullstellen,etc. ...Lösungen:
f(x)=1/2x^3-3/2x^2+2 ; N1(-1/0); N2u.3(2/0) ;
H(0/2) ; T(2/0); W (1/1) Alles klar. Teil 2.) In das "Dreieck", das der Graph von f mit der X-Achse
und der Y-Achse bildet soll ein Rechteck eingefügt werden, dessen Flächeninhalt max. groß sein soll. Länge der Seiten des Rechtecks? ; Teil 3.) Die Gerade Y=2x-4 schneidet den Graphen von f aus Aufg.1.) in den Punkten P1 u. P2 im ersten Quadranten.Inhalt der Fläche berechnen(mit Kepl.Fassregel) die von der Geraden und dem Graphen von f eingeschlossen wird.Die Zeichnung ist fast perfekt von Dir.Nur auf der Y-Achse schneidet der Graph bei Y=2.Kriegst du`s hin? Gruß,Nadice. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 19:05: |
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Hi Nadice,
Du redest ja wie ein Profi . Jedenfalls war es klug von Dir, die Kurve zu zeichnen .
Hast Du auch die Gerade eingezeichnet ?
Wir schneiden nun fürs erste die Gerade y = 2x - 4 mit der kubischen Funktion y = ½ x^3 -3/2 x^2 + 2 ;
durch Gleichsetzung der y-Werte kommt die kubische Gleichung x^3 - 3 x^2 -4 x + 12 = 0 , welche wiederum nur ganzzahlige Lösungen hat. Wir "erraten" z.B. wiederum x = 2.
Durch Division des Gleichungspolynoms linkerhand durch (x-2) erhalten wir das
Quotientenpolynom x^2 - x -6 , dessen Nullstellen wir durch Auflösung der entsprechenden quadratischen Gleichung erhalten; es sind dies die Werte x = - 2 und x = 3.
Die in der Aufgabe erwähnten Punkte P1 und P2 sind also : P1 ( 2 / 0) , P2 ( 3 / 2 ) .
Kontrolliere das in Deiner Zeichnung !
Der Flächeninhalt A des Parabelsegments zwischen der Sehne P1 P2 und dem zugehörigen Parabelbogen lässt sich mit einem bestimmten Integral berechnen und man braucht dazu die Fassregelnich
Wir bilden zunächst die Differenzenfunktion d(x) = y1 -y2 , wobei y1 der y-Wert aus der Geradengleichung und y2 derjenige aus der Parabelgleichung darstellt. Somit:
d(x) = 2x - 4 - ( ½ x^3 - 3/2 x^2 + 2 ) = - ½ x^3 + 3/2 x^2 + 2x - 6.
Eine Stammfunktion von d(x) ist D(x) = -1/8 x^4 + ½ x^3 + x^2 -6x
Die untere Grenze für das bestimmte Integral ist x = 2, die obere x = 3. Wir erhalten:
Flächeninhalt A = D(3) - D(2) = - 1/8*81 + 27 / 2 + 9 - 18 + 2 - 4 - 4 + 12 = 3 / 8 Bravissimo !
Zur Fassregel (siehe Arbeit von Fern)
Die Fassregel ist an und für sich nützlich und wurde von Kepler 1615 entwickelt und
in seinem Werk "Nova stereometria doliorum vinariorum" nicht zuletzt zuhanden österreichischer Küfer veröffentlicht.
Anm: ; die Fassregel liefert im Falle von Parabeln exakte Werte und nicht bloss Näherungen !
Sollten noch weitere Probleme bei dieser oder bei ähnlichen Aufgaben auftreten ,
so bin ich zur Hilfe - so weit wie möglich - gerne bereit.
Inzwischen: freundliche Grüsse von Hans Rudolf. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 20:57: |
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Hallo MEGAMATH,thanks, dass du dich nochmals damit befasst! Profihaft reden?!? Ironie?!? Du solltest meinen Lehrer reden hören(der Perfektionist in Person).Ich bin noch nicht ganz damit fertig deine Arbeit nachzuvollziehen, der "Tatort" kam dazwischen.Ich habe sooo viel nachzuholen, dass es mich nicht gerade motiviert, dass ich für jede Teilaufgabe Stunden brauche!!! Kann man mit deiner
Integral-Methode jede Flächenberechnung dieser, oder ähnlicher Art machen? Mich wundert warum mein Lehrer hingeschrieben hat, dass es auf "herkömmliche Art" nicht zu berechnen wäre.
Mein Drucker streikt gerade, er druckt nur die Kopfzeile und den Rest läßt er einfach weg, kannst du mir sagen was mit ihm los ist?Stimmt da irgendwas mit der Verbindung zwischen PC u. Drucker nicht ,oder??? Welche Mathe-Software benutzt du eigentlich? Gruß, Nadice |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 21:11: |
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Hallo Nadice nochmal,
Bei meiner ersten Grafik habe ich bewusst die y-Achse bei x=1 gezeichnet, um die zur Frage stehende Region besser hervorzuheben. Dies scheint Verwirrung verursacht zu haben.
Deshalb hier nochmals die Kurve mit der y-Achse am richtigen Platz.
Achtung: Maßstab von x-Achse auch hier verschieden von Maßstab der y-Achse.
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Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 22:07: |
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Sag mal,H.R.,hast du eigentlich bei Teil 2.) gleich die Fläche des Rechtecks berechnet, ohne vorher die Dreiecksfläche zu ermitteln?
Hast du Lust auf noch so eine nette Aufgabe? Ich hätte da noch eine, die ich eigentlich schon vor einer Woche berechnen sollte. Paß auf:
Eine Funktion f ist gegeben durch ft(x)=1/4x^4+tx^3-x^2 ; t ganz R ; Schaubild sei Kt; K0 untersuchen auf Symmetrie, Nullstellen, Hoch-,Tief-und Wendepunkte; begründen, dass sich die Wendetangenten von K0 auf der Y-Achse schneiden; die Koordinaten dieses Schnittpunktes berechnen.Dies war Teil a.), ein 1/4 der gesamten Aufgabe und das einzigste, was ich geschafft habe (richtig?weiß nicht,glaube schon).Dann kommt aber Teil b.):Die Punkte P(u/v) und Q(-u/v) mit0 < u < Wurzel2 liegen auf K0 und bilden mit T(0/-1)ein Dreieck. u so bestimmen, dass der Flächeninhalt des Dreiecks PQT maximal wird.Spiegelt man K0 an der Geraden y=-1, so erhält man das Schaubild Ko. K0 und Ko schließen ein Flächenstück ein.Dieses soll man berechnen!
Also KO = f0(x)=1/4x^4-x^2 ; N1/2 (0/0) ; N3 (2/0)
N4 (-2/0); H (0/0) , T (1.41/-1); W1 (0.816/-5/9)
W2(-0.816/-5/9).So das hatte ich hingekriegt aber Teil b.) ist mir schleierhaft!Kannst du helfen?
Dann gibt´s da noch Teil c.) und d.)......
Gruß, Nadice.
P.S. Zeichnung von Fern ist perfekt! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 22:33: |
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Hi Nadice,
Gerne nehme ich zu Deinen aufgeworfenen Fragen Stellung
1.Berechnung eines Flächenstücks, welches zwischen zwei Graphen liegt.
Dies funktioniert immer durch die Integration der
Differenzenfunktion,wenn gewisse Regularitätsbedingungen erfüllt sind:
Sind die beiden Funktionen f(x) und g(x) im abgeschlossenen Intervall
a = g(x) > 0 , so erhält man die
Fläche A des zwischen den beiden Graphen liegenden Gebietes zunächst
durch die Differenz zweier bestimmter Integrale, nämlich
A = int (f(x)dx) - int(g(x)dx) , je in den Grenzen a bis b.
Dies lässt sich zusammenfassen zu einem einzigen bestimmten Integral über
der Differenz d(x) der beiden Funktionen, d.h.
A = int (( f(x) - g(x) )dx), Grenzen wie gehabt.
Cum grano salis lässt sich diese Formel auch benützen ,wenn f(x) oder g(x)
oder beide negativ sind ( die Graphen dürfen sich im Intervall bloss nicht
schneiden)
Als Uebung stelle ich Dir zwei Aufgaben (déformation professionnelle !) :
a) Berechne die Fläche A zwischen Deiner Kurve dritten Grades und der
Geraden y = 2x -4 zwischen ihren Schnittpunkten P( - 2 / - 8 ) und
Q( 2 / 0). Resultat (zu Deiner Erbauung) : A = 16
b) Berechne den Inhalt A des von den Kurven c1 und c2 eingeschlossenen Gebietes ; c1 : y = x + wurzel (x) , c2: y = -x + wurzel (x) , x=0..x=4
Resultat: A = 16 (schon wieder !)
Morgen mehr ! Themenkreis : Fassregel / Computeralgebrasysteme u.a. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 09:06: |
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Hi Nadice,
Nun kann es weiter gehen,
1. Nachtrag zum Punkt 1 von gestern bezüglich f(x), g(x) :
Sind f(x) und g(x) im abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig und ist daselbst f(x) grösser oder gleich g(x) und g(x) positiv, so erhält man die über diesem Intervall liegende Fläche ....
2. Zur Fassregel von Kepler. Diese bezieht sich - wie der Name sagt - in erster Linie auf die Berechnung des Volumens eines Fasses. Die Boden - und die Deckfläche des Fasses sind Kreise vom Radius r. Der Spundradius, d.h. der Radius des Querschnittes in halber Höhe , ist R , die Höhe h ; die Dauben sind Parabelbögen. Das Volumen eines solchen Fasses ist (exakt) :
V = Pi * h / 15 * ( 8 R^2 + 4 R r + 3 r^2 )
Unter "Fassregel" versteht man des weitern eine Methode der numerischen
Integration (in der Ebene ) ,welche einen Sonderfall der Formel von
Simpson darstellt.
Gilt für einen Kurvenbogen y = f(x) über [a,b] y0 = f(a) , y2 = f(b) ,
y1 = f((a+b)/2) so ist die Fläche A " unter der Kurve bis zur x-Achse
von a bis b " angenähert - für Parabelbögen exakt - :
A = ( b - a ) / 6 * ( y0 + 4 y1 + y2 ) .
In diesem Zusammenhang möchte ich eine hübsche Aufgabe von Kepler
selbst erwähnen, die ebenfalls von einem Fass handelt ;die Fässer hatten es
ihm wohl angetan ! Dies mag mit der Hochzeitsfeier anlässlich seiner
zweiten Vermählung zu tun haben. Jedenfalls schaffte er sich zu den
Feierlichkeiten ein Fass Wein an und wollte sich durch eigene Messungen
und Berechnungen davon überzeugen, dass er nicht übervorteilt würde. -
Die Aufgabe ist eine Maximumaufgabe mit einer Nebenbedingung und lautet:
Im Mittelpunkt M einer Mantellinie eines zylindrische Fasses befindet sich
das Spundloch. Der Abstand des Punktes M vom entferntesten Punkt P des
Grundkreises wird mit einem Stab gemessen und sei eine Konstante a ,d.h.
es gelte für alle Fässer MP = a
Wie muss sich der Radius r des Grundkreises zur Höhe h des Fasses
verhalten, wenn das Fass ein maximales Volumen haben soll ?
Antwort: r : h = wurzel(2) : 4 , bitte nachrechnen !
3. Bei Teil 2 Deiner Aufgabe braucht man die von der Kurve und den Koordinatenachsen eingeschlossene Fläche nicht zu berechnen.
Die Kurve kommt zur Genüge zur Geltung, wenn man fordert, dass eine
Ecke des Rechtecks auf der Kurve läuft .
4. Die von mir verwendeten Computeralgebrasysteme sind folgende:
Derive, Mathcad, Mathematica und vor allem Maple V.
Ich benütze diese Programme vor allem für Kontrollen und für
graphische Darstellungen.
Viel Ausdauer ,Geduld und vor allem Erfolgserlebnisse bei der Beschäftigung mit Mathematik wünscht Dir
Hans Rudolf |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 11:56: |
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Hi Nadice,
Jetzt kommt Deine neue Aufgabe dran !
Die Teilaufgabe a) hast Du richtig gelöst ; es fehlen noch die Koordinaten des Schnittpunkes der Wendetangenten auf der y-Achse.
Dass sich diese beiden Tangenten auf der y-Achse schneiden müssen , ist zum vorneherein klar, denn die Kurve K0 ist zur y-Achse symmetrisch, da in
der Funktionsgleichung nur gerade Potenzen von x auftreten Nun aber der Reihe nach: Schnittpunkte mit der x-Achse: O(0/0),A(2/0) ,B(-2/0)
Hochpunkt O(o/o) , Tiefpunkte T1 (wurzel2/-1), T2 (- wurzel 2 / -1)
Wendepunkte W1(xw / yw) , W2 (-xw / yw) mit xw = wurzel (2/3),
yw = - 5 / 9. Die Steigungen m1,m2 in diesen Punkten sind :
m1 = - 4 /3 * wurzel (2/3) und m2 = - m1 ( aus Symmetriegründen !)
Die Gleichung der Wendetangente in W1 lautet daher:
y - yw = m1 * ( x - xw) , also y + 5/9 = - 4/3 * wurzel(2/3) * ( x - wurzel/2/3)
Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhalten wir , indem wir x = 0 setzen.
Es entsteht (für beide Wendetangenten ) der Schnittpunkt S( 0 ; 1/3).
Nun zur Teilaufgabe b) die halbe Grundlinie des Dreiecks ist u , die Höhe h = 1 + v ( stelle eine Figur her und beachte, dass im massgebenden Bereich u negativ ist und zur Berechnung von h die Differenz 1 - ( - v) zu bilden ist. Somit ergibt sich für die Dreiecksfläche : A = A(u) = u * ( 1 + v ) , mittels der Funktionsgleichung entsteht daraus : A = u ( 1 + 1/4 * u ^ 4 - u ^ 2 ) =
u + ¼ u^5 - u^3 ; wir leiten nach u ab und erhalten A ' (u) =1 + 5/4 u^4 - 3 u^2
Setzen wir A ' = 0 , so entsteht die biquadratische Gleichung für u:
5 u ^ 4 -12 u ^ 2 + 4 mit den Lösungen u^2 = 2 und u^2 = 2/5 .
Als Lösung der Aufgabe taugt für u nur der Wert u = wurzel (2/5) Daraus ergibt sich v =- 9/25 , A max = 16/25 * wurzel ( 2/5). Dass es sich um ein Maximum und nicht um ein Minimum handelt, ist anschaulich klar
Fortsetzung folgt demnächst.
Freundliche Grüsse von H.R.
. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 15:46: |
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Hi Nadice,
Nun kommen wir zum Schluss des Teils b) Deiner Aufgabe.
Damit wir die gesuchte Fläche J durch ein bestimmtes Integral besser berechnen können, führen wir eine einfache Parallelverschiebung des Koordinatensystems durch : die Spiegelungsachse mit der Gleichung y = - 1 wird neue x Achse , die neue y-Achse soll mit der alten übereinstimmen. Die Umrechnung der alten Koordinaten (x/y) in die neuen (x*/y*) eines beliebigen Punktes geschieht durch die Formeln x = x* , y = y* - 1 .
Die Kurve K0 bekommt eine neue Gleichung : y* - 1 = ¼ x* ^ 4 - x* ^ 2 oder
y* = ¼ x* ^4 - x* ^2 + 1 = F (x*)
Jetzt ist es an der Zeit , dass Du die Kurve samt dem neuen System skizzierst und an der neuen x-Achse spiegelst. Du erkennst dann ,dass die gesuchte Fläche J das Vierfache eines Gebietes G darstellt ,welches ganz im ersten Quadrant des neuen Systems liegt.
G wird dabei begrenzt von den neuen Koordinatenachsen und dem entsprechenden Kurvenbogen von K0.
Den Flächeninhalt können wir mit einem bestimmten Integral der Funktion F berechnen , wobei die untere Grenze null ist und die obere Grenze mit der in a) bestimmten Extremalstelle x = wurzel (2) übereinstimmt. Die Sterne bei der Variablen x lassen wir bei der Berechnung weg.
Somit : J = 4 * G = 4 int (F* dx) = 4* int ((1/4 x^4 -x^2 +1)*dx) in den genannten Grenzen.
Resultat : J = 32 /15 * wurzel(2) = 3.017 im Sinne einer Näherung.
Ich hoffe , Du kannst die Schritte im Einzelnen nachvollziehen und wünsche Dir dabei Erfolg
Mit freundlichen Grüssen
H,R. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 21:58: |
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Hallo,Hans Rudolf,Waahnsinn,habe gerade erst deine Berechnungen gesehen,Klasse!Heute morgen hat uns unser Mathelehrer darauf aufmerksam gemacht das der letzte Abgabetermin der Aufgabe am Mittwoch ist!Puh,gerade noch mal Glück gehabt!Ich muß mich jetzt erstmal deinen Berechnungen widmen und nachschauen, ob ich das kapiere.Mit Geduld bestimmt, aber zu viel Geduld ist auch nicht gut.
Teil c.) kommt nun:Untersuche, ob es mehr als einen Punkt gibt, durch den alle Kurven Kt gehen.
Bestimme die gemeinsamen Punkte von Kt mit der X-Achse. Untersuche, ob es einen Wert für t gibt, für den die positive Wendestelle von Kt in der Mitte von zwei benachbarten Nullstellen von Kt liegt. -Klingt nicht einfach, meiner Meinung nach.- Teil d.) :Durch h(x)=ax^2+c ist eine nach oben geöffnete Parabel gegeben. Sie schneidet K0 in A(2/0) und es gilt:(§ soll Integralzeichen sein.Ersatzweise) also: +2
§ (fo(x)-h(x))dx = 0
-2
Bestimme daraus a und c.
Deute die obige Integralzeichnung anhand einer ge-
eigneten Skizze.
Was hälst du davon? Für mich ist es schon ziemlich schwierig und knifflig.Also ich fange mit dem Nachrechnen an und warte in der Zwischenzeit auf ein weiteres Lebenszeichen deinerseits. Ciao,Nadice |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. März, 2000 - 10:05: |
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Hi Nadice
Es folgen die Lösungen der Teilaufgaben c) und d) ; sie sind - wie die übrigen Aufgaben auch - recht anspruchsvoll und vielleicht nur für ausserirdische
Schüler lösbar.
Trotzdem will ich versuchen , Dir die Lösungswege gangbar zu machen.
Zu c) : Es ist offensichtlich, dass alle Kurven Kt der Schar durch den Nullpunkt gehen, weil die Koordinaten x = 0 , y = 0 des Nullpunktes die Funktionsgleichung für alle t- Werte befriedigen.
Andere Punkte dieser Art gibt es nicht. Nehmen wir an, für die beiden verschiedenen t-Werte t1 und t2 läge ein gemeinsamer Schnittpunkt S vor , der vom Nullpunkt verschieden ist.. Dann müsste gelten (Gleichsetzung der y-Werte ;die Glieder mit x^4 und x^2 heben sich dabei weg ) :
t1 * x ^ 3 = t2 * x ^ 3 oder ( t1 - t2) * x^3 = 0 , woraus wegen t1 - t2 nicht null, notwendig x = 0 und daraus y = 0 folgt , also der Nullpunkt als Schnittpunkt erscheint, entgegen unserer Annahme von oben.
Die Schnittpunkte der Kurven mit der x-Achse erhalten wir aus der Faktorzerlegung x ^ 2 ( 1/4 x ^ 2 + t x -1 ) = 0
Die Lösungen sind :x1 = x2 = 0 (Doppellösung) und x3 = - 2 t + 2 * wurzel (t^2 + 1) , x4 = - 2t - 2 * wurzel ( t^2 + 1) als Lösungen der quadratischen Gleichung x^2 + 4 t x - 4 = 0.
Ermittlung der Wendepunkte. Erste Ableitung f ' = x ^3 + 3 t x ^ 2 -2x , zweite Ableitung f '' = 3 x ^ 2 + 6t x - 2
Die Nullstellen von f '' sind die x-Werte der Wendepunkte:
xW1 = ( - 3 t + wurzel ( 9 t ^2 + 6)) / 3 und xW2 = ( - 3 t - wurzel (9 t ^ 2 + 6)) / 3
Mittelpunkt xM der Nullstellen x2 und x3 : xM = (x2 + x3) / 2 = -t + wurzel ( t^2 + 1 ) . Dieser Wert soll nach dem Aufgabentext mit xW1 übereinstimmen; dies ergibt die Gleichung:
-3t + 3* wurzel(t^2 + 1) = - 3t + wurzel ( 9 t^2 + 6) ,
Das führt jedoch zu einem Widerspruch ( -3t wegheben und quadrieren )
9(t^2+1) = 9t^2 + 6 oder 9 = 6 (!). Konsequenz:
Die geforderte Bedingung kann durch keinen t-Wert erfüllt werden.
Fortsetzung folgt später. / Inzwischen aufmunternde Grüsse von
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. März, 2000 - 12:59: |
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Hi Nadice,
Der letzte Teil Deiner Aufgabe gefällt mir am besten und ich möchte ihn Dir sehr ans Herz legen
Es geht um ein Thema , das wir vor kurzem besprochen haben :
um die Berechnung des Flächeninhaltes zwischen zwei Kurven und dem
bestimmten Integral über der Differenz der zugehörigen Funktionswerte.
Aber der Reihe nach. Die Achse der Parabel y = a x^2 + c ist die y-Achse ( als Symmetrieachse) und ihr Scheitel liegt auf dem negativen Teil der y-Achse , da
die Parabel nach oben geöffnet ist und durch den Punkt A(2/0) gehen muss;
diese Ueberlegungen stellen wir an, damit Du eine Vorstellung von der Sachlage bekommst
Um a und c zu bestimmen ,müssen zwei Bedingungen her .
Die eine ist die Forderung, dass die Parabel durch den Punkt A gehen soll. Wir setzen seine Koordinaten ein und erhalten die Gleichung 0 = 4a + c , also c = - 4 a .
Somit gilt als Gleichung der Parabel y = a * (x ^ 2 - 4 )= h(x) . Man erkennt sofort die beiden symmetrisch liegenden Nullstellen x = 2 und x = - 2
Die andere Bedingung ist die Vorschrift, dass der Wert des angegebenen Integrals null sein muss. Dies setzen wir wie folgt in die Tat um :
Die Differenz d(x) der Funktionen stellt sich nun so dar:
d(x)= fo(x) - h(x) = ¼ x ^4 - x^2 -a x^2 + 4 a
D(x) sei eine Stammfunktion von d(x) . Wir finden:
D(x) = 1/20 x ^ 5 -1/3 x ^ 3 - 1/3 a x ^ 3 + 4 a x
Nun ist das bestimmte Integral J in den Grenzen -2..2 zu berechnen und null zu setzen. Aus Symmetriegründen kann statt dessen das bestimmte Integral von null bis zwei berechnet und dann noch mit zwei multipliziert werden.
Wir erhalten J = 2 * ( D(2) - D(0)) = - 32 / 15 + 32 / 3 * a
Setz man J = 0 , so kommt der gesuchte a-Wert : a = 1/5 und die Gleichung der Parabel lautet: y = 1/5 x^2 - 4/5.
Der Scheitel hat die Koordinaten ( 0 ; - 4/5 ) und die Parabel schneidet K0 in den Punkten mit den x-Werten -2 , - 2/5 * wurzel (5) , 2/5 * wurzel (5) , 2
Geometrische Interpretation des Integrals.
Als Grundlage diene eine Darstellung beider Funktionen im gleichen
Koordinatensystem , am besten verwendest Du den Funktionenplotter, welcher vom Forum her zugänglich ist.
Was bedeutet nun das Verschwinden des Integrals über die Differenz f - h ?
Antwort: Dass sich alle Flächenteile zwischen den Graphen , mit den entsprechenden Vorzeichen versehen, also algebraisch addiert ,aufheben.
Schwierigkeiten ergeben sich für die Vorstellung aus zwei Gründen:
Beide Kurven liegen unterhalb der x-Achse und überschneiden sich.
Als Resultat kann festgehalten werden: die beiden unterhalb der x-Achse liegenden Zweige der Funktionen f0(x) und h(x) schliessen mit der x-Achse je
gleiche Flächenteile bezüglich ihrer Absolutwerte ein
Damit sind wir am Schluss angelangt. Sollten sich Probleme ergeben ,so bin ich auch zu direkter Auskunft gerne bereit.
Mit freundlichen Grüssen Hans Rudolf. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. März, 2000 - 17:12: |
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Hey,megamath,habe Probleme mit dem Nachvollziehen einiger Teile deiner Lösungen. Bin ziemlich erkältet, vielleicht liegt es daran.1 Frage: wie kommst du (beim Ende von Teil 1.) der Aufgabe) auf die -4/3 * Wurzel2/3, als Steigung der Wendetangente? Erkläre es mir bitte. Gruß, Nadice |
H.R., megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. März, 2000 - 18:32: |
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Hi Nadice,
Leider habe ich jetzt gerade keine Zeit!!!
Muss in den Ausgang! Die Antwort auf deine Frage kommt gegen Mitternacht.
Mit freundlichen Grüssen
H.R. Moser |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. März, 2000 - 22:13: |
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Hi Nadice,
Ich will versuchen, die Steigung m1 der Wendetangente im Wendepunkt rechts, der im vierten Quadrant liegt ,detailliert zu berechnen.
Die Ableitungen der Funktion y (x) = ¼ x ^ 4 - x ^ 2 sind der Reihe nach:
y ' (x) = x ^3 - 2 x und y ' ' (x) = 3 x ^ 2 - 2 Um xW zu finden, setzen wir y ' ' ( x ) = 0 und erhalten als positive Lösung:
x W 1 = wurzel ( 2 / 3 ) . Diesen Wert setzen wir als x-Wert in den Ausdruck für y ' (x) ein und erhalten so die gesuchte Steigung m1 der Wendetangente ; wir beachten dabei ,dass xW1 ^ 3 = xW1 ^2 * xW1 = 2/3 * wurzel ( 2 / 3 ) ergibt.
Somit kommt m1 = wurzel( 2/3) * ( 2/3 - 2) = - 4/3 * wurzel(2/3) wie im Text angegeben.
Damit sollte diese Frage geklärt sein.
Ich wünsche Dir gute Besserung und einen möglichst klaren Kopf. trotz der Erkältung.
Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser |
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