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Beitrag |
    
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 14:52: | 
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Ich muß ne Mathefacharbeit zum Thema
Raummessung durch Integration - Anwendung auf Kugel Torus und Fass verfassen.
Ich hab nur ein paar Probleme:
1. Reicht es wenn man die jeweiligen Graphen um
die x Achse rotieren läßt und das ganze variert,
oder kommen da auch diese komischen Volumenberechnungen im R 3 dazu, wo ich keine
Ahnung von habe.
2. Die Umsetzung dessen, was ich bisher habe in
Computerdruckbares Material ist ne mittlere Katastrophe, das beginnt bei den Rotationskörpern
(keine Ahnung wie ich das realisieren soll,)
und endet mit dem Schreiben von Rechnungen,
bei Wurzeln, Summen, Quadraten und Integralen.
Hilft mir doch wer ich brauch das Teil bis
1 Februar und hab heute die erste Seite fertiggestellt...
Danke schon mal im vorraus für eure Bemühungen,
Martin |
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 18:47: |
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Helft mir, bitte... |
Uwe (Uwe)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 19:05: |
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Hallo Martin,
deine erste Frage verstehe ich nicht ganz.
Für die Computerumsetzung könnte man z.B. MS Word verwenden. Falls noch nicht geschehen, installiere den Formeleditor nach, so dass du Formeln eingeben kannst.
Geht es darum, durch Integrale verschiedene Rotationskörper zu berechnen?
Uwe |
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 21:00: |
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Also es geht auf jeden Fall teilweise darum,
durch Integrale verschiedene Rotationskörper
zu berechnen, ich kann mir allerdings nicht vorstellen, dass es genügt das ganze mit
den einfachen normalen formeln zu rechnen
z.b. Wurzel(r^2-x^2) ergibt nen Halbkreis,
der rotiert ne Kugel ergibt.
Soweit so gut, dass ganze kann man auch im R 3
rechnen mit zwei Variablen, jetzt würde ich gerne
von irgend jemanden mit Ahnung von Mathe wissen,
ob das erforderlich ist, und wenn ja wie das geht.
Außerdem hab ich keine Ahnung wie ich das mit den
Rotationskörpern graphisch darstellen soll,
was gibts da für programme,
das mit dem Formeleditor ist zwar umständlich,
aber es funkt, danke Uwe |
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Dezember, 2000 - 12:07: |
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wäre super, wenn mir jemand helfen könnte |
miniwatu
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Dezember, 2000 - 12:47: |
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Hi Martin,
ich weiss zwar nicht was sich Dein MAthelehrer so gedacht hat, aber das Volumen von Kugel, Torus und Fass lassen sich in der Tat mit Rotationskörpern bestimmen. Die Kugel hast Du ja schon oben beschrieben. Etwas schwieriger ist das mit dem Torus und dem Fass. Hier musst Du je nach eigentlicher Aufgabenstellung unter Umständen etwas knobeln, aber ich bin mir sicher, dass Du keine anderen Volumenberechnungen brauchst.
Miniwatu |
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Dezember, 2000 - 12:55: |
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Ich hab ja auch schon ein Rotationsvolumen
für Torus und Fass ausgerechnet, ich hab jetzt
einen Umfang von ca 10/11 Seiten, und der erwartete Umfang ist 25-30 Seiten, wie soll ich
das ganze so strecken? Soll ich die ganzen
Graphen noch ein bißchen verschieben, und auch
mal um die y Achse rotieren oder was? Das gibt
zwar ordentlich Rechenaufwand ist im Grunde aber
recht billig und einfach, und es wird trotzdem
nicht reichen. was meint ihr?? |
miniwatu
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Dezember, 2000 - 13:54: |
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Dein Thema ist doch "Raummessung durch Integration - Anwendung auf Kugel Torus und Fass".
Hast Du schon allgemein beschrieben, wie Du von der Integration zur Raummessung kommst? Was das Ganze mit Rotationskörpern zu tun hat, Beschreibe nicht nur die Rotation um die x-Achse, sondern auch um die y-Achse etc.? Es müssen nicht immer Rotationskörper sein!!
Hast Du schon erzählt warum Kugel, Torus und Fass so wichtig sind, dass Du sie betrachtest? (wo kommen diese Berechnungen vielleicht normalerweise vor, welchen theoretischen Wert hat die Berechnung der Volumen, welches megawichtige Problem kann so gelöst werden?)
Du kannst die Aufgabe mit dem Fass noch etwas erweitern, indem Du die Flüssigkeitsmenge bestimmst, die bei gegebener Füllhöhe sich noch im Fass befindet. Ich glaube, das ist auch ein historisches Problem oder es wurde früher irgendwie anders gemacht, weiss ich nicht genau. Apropos historisch hast Du schon mal daran gedacht, das Thema historisch einzuleiten?
Was bringt das inhaltlich, wenn Du den Graph verschiebst? Das Volumen bleibt doch gleich! Oder bin ich falsch gewickelt?
Du könnest, falls Du es nicht bereitsgemacht hast, begründen, warum den Graphen so gewählt hast und wie er bei veränderter Fragestellung gewählt werden sollte.
Miniwatu |
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 10:39: |
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Zur Rotation um die y Achse habe ich leider null
Material, das wird problematisch, und was heißt
es müssen nicht immer Rotationskörper sein??
Warum Kugel, Torus und Fass so wichtig sind und welches megawichtige Problem sich damit lösen
läßt, weiß ich leider auch nicht.
Das Thema im Bezug auf dieses Fassproblem historisch einzuleiten wäre sehr sinnvoll, klar,
nur hab ich keine Ahnung, wo ich die nötigen
Infos herbekommen soll. |
Uwe (Uwe)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 18:44: |
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Hallo Martin,
ob du nun um die x-, y-, oder z-Achse rotierst ist gar nicht so wichtig. Man sollte sich die einfachste Möglichkeit bzw. Koordinatensystem heraussuchen. Man kann zwar in beliebiger Reihenfolge und Koordinatensystemen integrieren, aber warum sollte man es sich schwerer machen, als es ist?
Ich werde mich dann noch mal melden.
Uwe |
miniwatu
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 20:38: |
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Hi Martin,
ich weiss zwar nicht welches Mathebuch ihr in der Schule habt, aber im Lambacher/Schweizer "Analysis" steht etwas über die Berechnung von Rauminhalten drin, auch über solche Körper, die keine Rotationskörper sind.
Bei der Herleitung der Formel für die Rotationskörper verwendest Du doch Scheiben(Zylinder), deren Dicke immer kleiner werden soll und deren Querschnittsfläche senkrecht zur x-Achse durch eine Funktion q(x)=pi*[f(x)]^2 beschrieben ist. Den Rauminhalt erhältst Du durch die Integration über die Funktion q. Nun wenn Du keinen Rotationskörper hast, sondern einen Körper, dessen Querschnittsfläche sich beispielsweise durch q(x) = 2*f(x) beschreiben lässt, dann musst Du ebenfalls nur über q integrieren, um den Rauminhalt zu erhalten. Im Beispiel wäre dies ein Körper, der im Querschnitt ein Quadrat ist. Es lässt sich dort vieles andere vorstellen.
Weiteres später
Miniwatu |
miniwatu
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 22:10: |
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Hi Martin,
hier noch zwei Buchempfehlungen:
Historisches findest Du in
Heuser, H. (1993) Lehrbuch der Analysis
ganz hinten in dem Kapitel Ein historischer tour d'horizont. Das was Dich interessieren dürfte, findest Du im Unterkapitel Auf dem Weg zum Calculus.
Weiteres zu Integrale und Rauminhalte findest Du in
Kroll, W.; Vaupel, J. (1986) Grund- und Leistungsleistungskurs Analysis Band 2: Integralrechnung und Differentialrechung 2
zumindest das erste Buch sollest Du erhalten können. Notfalls frage bei deinem Mathelehrer nach.
Zur Volumenbestimmung des Rotationskörpers einer Funktion f um die y-Achse verwendest Du die Umkehrfunktion von f und lässt diese um die x-Achse rotieren.
Das Prinzip von Cavalieri: "Zwei Körper haben denselben Rauminhalt, wenn sie in gleichem Abstand von einer gedachten Ebene stets gleichgrosse Schnittflächen besitzen" lässt sich durch die Integration über die Querschnittsflächen bestätigen.(siehe vorige Mail)
Miniwatu |
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 11:59: |
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Erst mal wieder danke euch beiden,
könnte mir vielleicht jemand diese Berechnung
des Rauminhalts von Körpern, die keine Rotationskörper sind erklären? Ich hab dieses
Mathebuch nicht. |
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 14:50: |
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zu oben:
Und das andere Buch muß ich auch erst noch
bestellen, würde aber trotzdem gerne weitermachen.
Nix gegen deine Erklärung, aber so kapier Ich das nicht. Versucht halt bitte nochmal mir das zu erklären. |
Miniwatu
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 21:31: |
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Hi Martin,
ich hoffe, dass Du das Buch noch erst bestellen muss, bedeutet nicht, dass Du es kaufen möchtest. Denn in den Büchern steht weit mehr drin, als Dich interessieren dürfte und als man beim ersten oder zweiten Mal durchlesen verstehen kann. Insbesondere der Heuser enthält Stoff des zweiten und dritten Semesters eines Mathematikstudiums. Also leihe die Bücher aus! Das Kaptitel Ein historischer tour d'horizont steht dabei ganz am Ende und soll wohl zur Horizonterweiterung dienen. Ich denke aber, es kann such von jemanden verstanden werden, der das Buch nicht gelesen hat - ich hoffe, ich verschätze mich dabei nicht. Übrigens ich stelle gerade fest, das Du in den zweiten Band von "Heuser,H: Lehrbuch der Analysis" schauen solltest.
Meine Erklärung zur Volumenberechnung von Körpern, die keine Rotationskörper sind, ist in der Tat sehr knapp geraten. Also beschreibe ich es etwas ausführlicher.
Wie gesagt es geht um Körper, die keine Rotationskörper sind. Stelle Dir dabei vor, dass dieser Körper in einem dreidimensionalen Koordinatensystem (x,y,z) liegt und durch zwei Ebenen begrenzt wird, die parallel zur y,z-Ebene liegen. Die Ebenen lassen sich durch Gleichungen der Art x=a bzw x=b beschreiben.
Um Dir das besser vorstellen zu können, zeichne doch mal so ein Koordinatensystem und versuche alle Punkte einzuzeichnen, die in der ersten Koordinate den Wert 1 besitzten, also x=1. Es müsste eine Ebene herauskommen.
Als Beispiel können wir eine quadratische Pyramide verwenden, deren Spitze im Ursprung liegt und deren Höhe identisch mit der x-Achse ist. Die Ebenen in dem Beispiel können dann mit x=0 und x=h, wenn h die Höhe der Pyramide ist, beschrieben werden.
Jede Ebene x=c, die parallel zu und zwischen den beiden Grenzebenen liegt schneidet, dann den Körper. Es gilt dann dabei a £ c £b. Den Flächeninhalt der Schnittfläche bezeichnen wir mal als q(c) oder allgemein q(x). Die Schnittflächen sind immer senkrecht zu x-Achse, genau wie die Ebenen.
In dem Beispiel der Pyramide sei die Höhe h=5, dann wäre x=2 eine Ebene die zwischen den Grenzebenen liegt. Die Querschnittsfläche ist eine Quadrat, dessen Flächeninhalt vom Flächeninhalt des Quadrats abhängt, das die Grundfläche der Pyramide ist. Je größer der Flächeninhalt des Quadrats der Grundfläche desto größer der Flächeninhalt der Querschnittsfläche in der gleichen Höhe.
Nun lässt sich nicht so einfach auch Flächeninhalten Rauminhalte machen. Um dies zuerreichen zerlegen wir den Körper in dünne Scheiben, die parallel zu den Grenzebenen liegen. Deren Volumen ist in etwa: Grundfläche der Scheibe • Scheibendicke. Also q(xk) • Scheibendicke, wenn die Schnittfläche der Ebene x=xk als Grundfläche der Scheibe gewählt wurde. Die Volumenberechnung stimmt nicht genau, denn durch diese Berechnung wird das Volumen eines Prismas bestimmt, das immer die gleiche Querschnittsfläche hat. Das muss bei den Scheiben nicht notwendigerweise so sein.
Bei einer quadratischen Pyramide sind die Scheiben Quader. Sie haben als Grundfläche ein Quadrat, also ist deren Volumen Grundfläche • Höhe. Die Höhe entspricht der Scheibendicke. Die einzelnen Quader schauen entweder über die Pyramide hinaus oder sind etwas kleiner als sie, jenachdem welchen Querschnitt man als Grundfläche genommen hat. Dies ist jedoch nicht schlimm, wenn die Scheiben dünn genug sind. Denn dann ist dies nicht zu sehen oder zu spüren.
Das Volumen des Körpers entspricht dann der Summe über alle Scheibenvolumen. Also wenn der Körper in n Scheiben zerlegt wurde, gilt V = Sn k=1 q(xk) • (xk - xk-1). xk - xk-1 stellt dabei die Scheibendicke dar. Als Grundfläche der Scheibe wurde dann jeweils die Schnittfläche mit der Ebene x=xk gewählt. Werden die Scheibendicken immer kleiner gewählt, wird die Ungenauigkeit der Volumenberechnung auch immer geringer und das Volumen nähert sich für unendlichviele Scheiben dem tatsächlichen Volumen des Körpers an. Ähnliches wird gemacht, wenn das Integral der Funktion q(x) bestimmt wird, nur dass dann xk - xk-1 nicht die Scheibendicke darstellt, sondern die Breite von Streifen. Es muss also für das Volumen des Körpers gelten:
V = òa b q(x) dx
Also zusammengefasst:
Ein Körper liegt zwischen zwei Ebenen x=a und x=b. Der Flächeninhalt der Schnittfläche der Körpers mit einer Ebene an der Stelle x lässt sich durch die Funktion q(x) beschreiben. Dann lässt sich das Volumen des Körpers durch das Integral von q(x) von a bis b berechnen.
Das Problem bei den ganzen Volumenberechnungen ist nun, wie bekomme ich die Funktion q(x), die Querschnittsfunktion. Bei der Rotation um die x-Achse wurde das bereits gelöst. Bei dem Beispiel mit der Pyramide muss man mit dem Strahlensatz ran.
Ich hoffe das war verständlicher. Es gibt noch die Möglichkeit das Ganze über Ober- und Untersummen zu erklären, aber die Grundidee ist dieselbe.
Falls Du etwas nicht verstanden hast, frag einfach nochmal nach.
Miniwatu |
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 15:25: |
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Erst mal wieder Danke, ist ja super von dir...
Was steht denn in dem zweiten Band von H Heusers
Lehrbuch der Analysis? Ist es notwendig, dass ich
dieses Buch auch noch besorge? Naja, jedenfalls
bekomme morgen die anderen beiden Bücher.
Ich hab jetzt natürlich ein neues Problem: Wie kann ich die ganzen Körper, Schnittebenen usw
in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen? Wer kennt ein geeignetes Programm? |
Miniwatu
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 18:53: |
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Hi Martin,
im Heuser steht ein Abriss über die Geschichte der Mathematik. Aber heute bin ich auf ein Kapitel im Kroll/Vaupel aufmerksam geworden, das mit "Vorstadien der Integralrechung im 17.Jahrhundert" überschrieben ist.
- Du siehst ich habe das Buch nicht richtig gelesen. -
Da das Buch als Lehrbuch für die Schule geschrieben ist, dürfte dieser historische Abriss sicherlich für alle verständlich sein. Und Du brauchst so den Heuser nicht.
Leider kann ich Dir mit der graphischen Darstellung nicht weiter helfen.
Viel Erfolg!
Miniwatu |
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