| Autor |
Beitrag |
    
Henning (Bart7777777)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 20:10: | 
|
Hallo ihr Matheasse!
Ich brauche dringend die Gleichung der Funktion von dem Gesetz der großen Zahlen und Tschebyscheff!
Vielen Dank im Voraus! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 15:24: |
|
Hi Henning,
Im Folgenden möchte ich Dir die Ungleichung von
Tschebyscheff (gelegentlich auch Ungleichung von
Bienaymé - Tschebyschow genannt ) vorführen,
dazu ein Korrolar erwähnen und das Ganze mit einem
Beispiel untermauern.
Sodann wird das Gesetz der grossen Zahlen formuliert.
Auf eine Herleitung dieses Gesetzes und auf eine Beweis
der Ungleichung von Tschebyscheff muss ich hier
nolens volens verzichten
Für eine Zufallsgrösse X mit der Stendardabweichung sigma
Und dem Erwartungswert E[X] = m gilt für eine beliebige
positive Zahl k für die Wahrscheinlichkeit P [.....]
die Ungleichung:
P [ abs (X-m) > = k] < = { sigma } ^ 2 / k ^2 .
Damit ist äquvalent die Aussage:
P [ abs (X - m ) < k ) > = 1 - {sigma }^ 2 / k^2.
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit,
in das gegebene Intervall [m-k,m+k] hineinzutreffen.
Der Quotient {sigma}^ 2 / k ^ 2 heisst
Tschebyscheff-Risiko; es stellt eine obere Schranke für
das wahre Risiko dar, mit der Zufallsgrösse X
den Erwartungswert E[x] = m um mindestens den Wert
k zu übertreffen.
Ein Beispiel zur Illustration
X sei die Augensumme beim Wurf mit zwei Laplace -Würfeln
Man berechne die exakten Werte für die
Wahrscheinlichkeiten:
a) P[abs(X-m) < 2], b) P[abs(X-m)< sigma]
c) P[abs(X-m) < 2* sigma ] d) P[abs(X-m) < 3*sigma]
alsdann schätze man diese Wahrscheinlichkeiten mit Tschebyschow
nach oben ab.
Auf Wunsch führe ich gerne eine Herleitung vor
Das Resultat lautet:
Exakte Werte :a) 4 / 9 b) 2 /3 c) 17 /18 d) 1
Mit Tschebyschow erhält man aus
E[x] = m = 7, Varianz [X] = 35 / 6, sigma = 1/6 * wurzel (210)
:
für a) ...> = - 11 / 24 (trivial)
b)...> = 0 (trivial)
c)......> = 3 / 4 (nicht trivial)
d)......> = 8 / 9 (nicht trivial)
Mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschow kann das
Gesetz der grossen Zahlen von Jakob Bernoulli
nachgewiesen werden.
Dieses Gesetz lautet
:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sei p
und hn die relative Häufigkeit dieses Ereignisses bei n
Versuchen.
Dann strebt die Wahrscheinlichkeit, dass sich hn von p
dem Betrage nach um weniger als epsilon unterscheidet,
gegen 1 für n gegen unendlich, dabei stellt epsilon eine
beliebig kleine positive Zahl dar
Für Einzelheiten uns Anwendungen möchte ich auf
passende Lehrbücher verweisen
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
