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Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. März, 2000 - 13:19: | 
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Mein Problem ist, dass ich ein Referat über "Gruppen" halten muss, aber ich habe leider keine genaue Vorstellung was ich tun soll.
Ich weiss nur dass die Gruppen auch im Zusammenhang mit "Körpern" vorkommen.
Bitte helft mir! |
reinhard
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. März, 2000 - 18:01: |
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Hallo!
Ja Gruppen stehen in einem Zusammenhang mit Körpern, wobei aber diese Körper nicht etwa 3-dimensionale geometrische Stukturen sind, sondern rein algebraische.
Man kann zwischen Zahlenmengen Verknüpfungen (Relationen) definieren. Die Verknüpfungen Addition und Multiplikation sind die weitaus bekanntesten, ebenso verknüpfungen sind Potenzen, Vektorprodukt und ähnliche.
Je nachdem, welche eigenschaften solche Verknüpfungen zwischen bestimmten Mengen haben, nennt man sie "Verknüpfungsgebilde", "Halbgruppe", "Monoid","Gruppe", "Abelsche Gruppe", "Ring" oder "Körper"
Eine Struktur muß keine bestimmten Eigenschaften haben.
Für eine Gruppe <G,•>, wobei G die Zahlenmenge und • ein Zeichen für die Verknüpfung ist, müssen folgende vier Gruppenaxiome gelten:
(1) Elementen a,b aus der Menge G ist eindeutig ein c aus der Menge G zugeordnet mit c=a•b
(2) kommutativ: Für alle a,b aus der Menge G gilt a•b=b•a
assoziativ: Für alle a,b aus der Menge G gilt: (a•b)•c=a•(b•c)
(3) Es existiert ein neutrales Element, also es gibt ein n aus der Menge G, sodaß für alle a aus der Menge G gilt a•n=n•a=a
(4) Jedes Element a aus der Menge G hat ein inverses Element a-1, sodaß gilt: a•a-1=a-1•a=n
Beispiele für Gruppen sind zum Beispiel <Z,+> oder <Q+,*>. Nicht aber <N,+>, weil es hier keine inversen Elemente gibt (das neutrale Element ist 0 und das inverse Element von 1 zum Beispiel wäre -1, welches aber nicht in den natürlichen Zahlen liegt)
Jetzt weißt du zumindest mal, worum es geht und wo du nachlesen mußt. Wie gesagt: gehört zum Berech der Algebra.
Reinhard |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. März, 2000 - 18:21: |
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Die Kommutativität ist für eine Gruppe keine Voraussetzung. Kommutative Gruppen bilden einen Spezialfall und heißen "abelsch" (nach Nils Hendrik Abel).
Für den Fall, dass du bereits weißt, was ein Körper (K,+,*,0,1) ist: K mit der Körperoperation + und dem neutralen Element 0 bilden eine Gruppe.
Die einfachste Gruppe ist die Gruppe, die aus nur einem Element x besteht mit der Verknüpfung x+x=x. x ist dann natürlich das neutrale Element. (Ob die Verknüpfungsoperation mit "+" oder einem dicken Punkt geschrieben wird, spielt keine Rolle.)
Die nächst einfachere Gruppe ist die Gruppe mit zwei Elementen x,y und der Verknüpfung
x+x=x, x+y=y, y+x=y, y+y=x.
Das neutrale Element ist hier wieder x. Das zu y inverse Element ist y selbst. |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. März, 2000 - 10:57: |
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Interessanterweise stimmen die oben erwähnten Beziehungen für n und -a auch bei nichtkommutativen Gruppen. Die Bezeichnung Relationen würde ich an dieser Stelle wohl meiden.
Schulisch ebenfalls bedeutsam sind die, wenn ich mich recht erinnere, Gruppen der Vertauschungen von n Elementen (Permutationen): Stochastik (zum Beispiel als zyklische Vertauschungen) oder Determinanten. |
ruediger
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. März, 2000 - 12:07: |
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Streng genommen kann man auch
Punkt 3 und 4 abschwächen.
Man braucht nur ein rechtsinverses und rechtsneutrales Element. Oder halt beides
links.
Alles andere (links- ist auch rechtsinvers, links- ist auch rechtneutral, Eindeutigkeit)
lässt sich folgern. |
reinhard
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. März, 2000 - 17:38: |
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Nein, ich habe tatsächlich die Definition für eine abelsche Gruppe eingetippt. In einer Gruppe ist Kommutativität nicht voraussetzung. Und nur mit Assoziativität läßt sich aus einem rechtsinversen Element kein linksinverses folgern.
Reinhard |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. März, 2000 - 22:29: |
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Hallo Rüdiger, ich würde vorschlagen, hier kurz die genaue, das heißt minimale, Definition einer algebraischen Gruppe zu geben und anzudeuten, warum dadurch neutrales und inverses Element eindeutig bestimmt sind. Danke! |
Lemon
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Mai, 2000 - 16:16: |
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Hallo,
ich komme mit einer Aufgabe nicht klar.
Gegeben: M={0,1,2}, S3=Aut(M), e=idM
a:M--->M definiert durch a(0)=1, a(1)=2, a(2)=0
b:M--->M definiert durch b(0)=0, b(1)=2, b(2)=1
Und nun die Fragen:
Bestimme alle Untergruppen von S3 und bestimme alle minimalen Erzeugenden-Mengen von S3
Das soll nicht soo schwer sein, aber mir fehlt da der richtige Einstieg.
Danke für Eure Hilfe!! :-) |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2000 - 23:05: |
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Aut sind die Automorphismen? |
Lemon
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 10:34: |
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Ja. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 21:42: |
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Z.B. die Menge die nur e=idM enthält ist eine Untergruppe von S3.
Du mußt alle Untergruppen betrachten (sind nicht so viele) und prüfen, für welche die Gruppenaxiome alle erfüllt sind. |
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