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Patrick
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2000 - 11:06: | 
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Hallo alle zusammen!
Ich benötige dringend eine Antwort auf folgende Frage und würde mich sehr sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet: Zu welchem mathematischen Bereich gehören die Kegelschnitte??(z.B. Analytische Geometrie??)
Vielen Dank!!
Patrick |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2000 - 14:50: |
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Hallo Patrick!
ja, die Kegelschnitte gehören zur Analytischen Geometrie. In meiner Formelsammlung stehen sie unter der Überschrift "Analytische Geometrie der Kurven - Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)".
Reinhard |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2000 - 15:23: |
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Auch die Darstellende Geometrie kennt hübsche Kegelschnitte, zum Beispiel Kegel-Kugel-Durchdringungen. ;-) F. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2000 - 15:59: |
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Ich habe ja schon die tollsten Einteilungen in der Mathemathik gesehen aber dass Kegel-Kugeldurchdringungen (=Raumkurven 4. Ordnung) zu den Kegelschnitten gezählt werden, habe ich noch nie gehört.
Wo steht denn so etwas geschrieben? |
Patrick
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2000 - 17:28: |
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Vielen Dank!
Ihr habt mir sehr weitergeholfen!!
Patrick |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2000 - 21:54: |
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Die durch smily gekennzeichnete Bemerkung war nicht toternst gemeint.
Unvoreingenommen kann man unter "Kegelschnitt" durchaus die Schnittfigur eines (meinetwegen schiefen, elliptischen) Kegels mit anderen Figuren (beispielsweise Kugeln) verstehen, dargestellt als Körperdurchdringung.
Übrigens befaßt sich drittens auch die Planimetrie mit Kegelschnitten.
Fröhliche Eierschnitte! ;-) Franz |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2000 - 23:26: |
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An die an Kegelschnitten (KS) Interessierten und Involvierten,
In völliger Unbefangenheit und auch unvoreingenommen möchte ich ein paar Bemerkungen zu diesem hochaktuellen Gebiet anbringen.
Was den rechnerischen Gehalt der KS anbelangt, gehören sie eindeutig in das Fachgebiet der analytischen Geometrie der Ebene; da bestehen keine Zweifel, und die gestellte Frage ist damit beantwortet.
Es würde den KS aber Unrecht geschehen, wenn man es dabei bewenden liesse. Sie treten bekanntlich in anderen Fachgebieten der Mathematik äusserst zahlreich (!) auf; dabei ist im folgenden nun nicht vom Zuhause der KS ,sondern von ihrem Erscheinungsbild die Rede.
Ich erwähne die Sparten Projektive Geometrie (synthetische Geometrie im Gegensatz zur analytischen Geometrie), in der Abbildungsgeometrie und in der Darstellenden Geometrie .
In der ersten Sparte erscheinen die KS im Zusammenhang mit den Sätzen von
Pascal und Brianchon, in der zweiten in der Gestalt als Bilder eines Kreises bei affinen und kollinearen Abbildungen, schliesslich - nomen est omen -
in der dritten Sparte als Kegelschnitte im wahrsten Sinne des Wortes mit allem drum und dran (Dandelinkugeln,Leitgeraden, numerische Exzentrizität etc.)
Ganz spannend wird es in der analytischen Geometrie des Raumes, wenn wir die Flächen zweiter Ordnung - rechnerisch - mit Ebenen schneiden und wir zusehen können, wie Schnitte des Ellipsoides zu Kreisschnitten werden können.
Aber genug von diesen tollen Sachen Wenden wir uns den erwähnten Durchdringungen zu. Wie üblich bei Diskursen , haben beide Beteiligten Recht!
Die Durchdringungskurve zweier Kegel oder Zylinder zweiter Ordnung ist im allgemeinen eine Raumkurve vierter Ordnung. Dabei bestimmt sich die Ordnung einer algebraischen Raumkurve nach der Höchstzahl der Punkte , nach der eine Eben diese Kurve schneiden kann.
Die Projektion einer solchen Durchdringungskurve ist i.a. eine Kurve der Ordnung der Raumkurve selbst.
Nun kann es passieren, dass solche Kurven vierter Ordnung zerfallen und dabei zwei einzelne ebene Kurven zweiter Ordnung,eben Kegelschnitte,entstehen.
Ich erwähne den folgenden Satz:
Haben zwei Kegelflächen einen Kreis als gemeinsame Leitkurve, so besteht ihre Durchdringungskurve aus eben diesem Kreis und einem gemeinsamen ebenen Schnitt, also einem Kegelschnitt (2+2=4`)
Oder dieser schöne Satz:
Wenn zwei Kreiskegel oder Kreiszylinder zwei gemeinsame Tangentialebenen haben, so bekommt die Durchdringungskurve zwei Doppelpunkte und zerfällt in zwei Kegelschnitte.
Dies zu Klärung Situation !
Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser,megamath. |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. April, 2000 - 07:02: |
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Hallo Hans Rudolf, gerade las ich von Simon Singh über Andrew Wiles und so weiter. Auch ohne groß was zu verstehen bleibt es faszinierend, in welch entlegenen Gebieten bestimmte Begriffe auftauchen. Hier zum Beispiel "elliptisch". Mathematik als Krimi? ;-)
Angenehme Feiertage ... Ach übrigens, ist das Ei schon analytisch, geometrisch oder sonstwie verarbeitet? Gruß Franz |
h.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. April, 2000 - 19:01: |
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Ei - Lights !
Eiflächen, Eikörper, Eilinien , das Gelbe vom Ei ;
ein Beitrag aus der Differentialgeometrie zum bevorstehenden Osterfest.
Zuerst eine zunftgerechte Definition der Eiflächen:
Eine Eifläche ist eine geschlossene , konvexe, wenigstens zweimal stetig differenzierbare Fläche, die überall positiv gekrümmt ist ( K >0 ; Gauss'sche Krümmung K).
Es folgen einige bemerkenswerte Sätze über Eiflächen (ohne Beweis!):
1. Die einzigen Eiflächen mit fester mittlerer Krümmung sind die Kugeln.
2. Auf jeder Eifläche gibt es mindestens eine geschlossene geodätische Linie (Henri Poincaré).
Neuerdings weiss man ,dass es davon mindestens drei gibt.
(Auf der Kugel übernehmen die Grosskreise die Rolle der geodätischen Linien.)
3. Wenn für das Krümmugsmass K in allen Punkten einer Eifläche die Ungleichung K > = 1/A^2 besteht , so gilt für ihren Durchmesser D die Ungleichung D < Pi * A. ( Satz von Bonnet )
(Unter Durchmesser versteht man die grösste Entfernung zweier Punkte der Fläche)
4. Flächeninhalte der Normalprojektionen von Eiflächen:
Es sei "EI" eine Eifläche, auf welcher das Krümmungsmass K den Ungleichungen genügt
1 /A ^ 2 < = K < =1 / B ^ 2
Es sei F der Flächeninhalt der Normalprojektion von "EI" auf eine Ebene .
Dann ist :
Pi * B ^ 2 < = F < = Pi * A ^ 2 , dabei kann ein Gleichheitszeichen nur gelten, wenn "EI" eine Kugel "KU" ist.
5. Sind F1, F2, F3 die Flächeninhalte der Projektionen auf drei paarweise
orthogonale Projektionsebenen ( z.B. auf die drei Rissebenen in der
Darstellenden Geometrie ) und F die Normalprojektion auf eine beliebige
vierte Ebene, so gilt nach Constantin Carathéodory :
F ^ 2 < = F1 ^ 2 + F2 ^ 2 + F3 ^ 2
6. Die grösste Kugel, die in einer Eifläche unbehindert rollen kann, hat den
kleinsten Hauptkrümmungsradius der Eifläche zum Radius.
7. Die kleinste Kugel, in der eine Eifläche unbehindert rollen kann , hat den grössten Hauptkrümmungsradius der Eifläche zum Radius.
8. Eine charakteristische Eigenschaft der Kugel:
Die einzigen Eiflächen, bei denen zwischen Krümmung K und dem Abstand D der Tangentialebene von einem festen Punkt O die Beziehung gilt
K = c / D ^ 2 ( c: konstant) sind die Kugeln
9. Umkehrung eines bekannten Satzes von Archimedes über Kugeln
Aus einer Eifläche werde durch zwei diese schneidende parallele Ebenen
im Abstand h stets eine Zone mit der Fläche 2 * Pi * a * h ausgeschnitten. Dann ist die Eifläche notwendigerweise eine Kugel vom Radius a .
Zum Schluss soll noch ein Satz über Eilinien, dem Analogon zu den Eiflächen im R2, Erwähnung finden., nämlich der sogenannte Vierscheitelsatz.
Ein Punkt einer Kurve, in dem die Krümmung kappa = 1 / rho verschwindende Ableitung (kappa ' = 0 ) hat, heisst "Scheitel" der Kurve; dabei ist rho ihr Krümmungsradius .
Solche Punkte sind bei einer Ellipse die zwei Haupt- und die zwei Nebenscheitel, und zwar sind diese vier Punkte die einzigen Scheitel einer
(nicht kreisförmigen) Ellipse. Der erwähnte Satz lautet nun
10 . Die Mindestzahl der Scheitel einer Eilinie ist vier
Anmerkung. Dieser Satz wurde schon auf die verschiedensten Arten bewiesen. Die meisten Beweise sind sehr geistreich ,aber schwierig zu verstehen
Schöne Beweise stammen von Gustav Herglotz und vom indischen Mathematiker Mukhopadhyaya (Calcutta).
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Schlussbemerkung : Die Zitate stammen aus dem Lehrbuch "Differentialgeometrie" von
Wilhelm Blaschke, Dover Publications, New York 1945.
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Des weiteren : Gut Ei !
Frohe Ostern wünscht allen
Hans Rudolf Moser, megamath.
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Linda (Lindl)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 13:18: |
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Folgende Aufgabe steht an:
Ermitteln sie eine Gleichung der Tangente an die Ellipse in den Punkten:
P1(4;y1)mit y1>0
P2(4;y2)mit y2<0
P3(-4;y3)mit y3>0 und
P4(-4;y4)mit y4<0
Zeigen Sie,daß die Schnittpunkte dieser Tangenteneckpunkte von einem Rhombus sind.
Berechnen Sie von diesem Rhombus den Flächeninhalt. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 20:03: |
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Hi Linda
Prolog
Folgende Information zur Ellipsentangente ist für
die Lösung Deiner Aufgabe nützlich
Die zur vorgegebenen Ellipsengleichung E gehörige
Tangentengleichung mit dem auf der Ellipse
liegenden Berührungspunkt P1(x1/y1) lautet:
9 * x1 * x + 25 * y1 * y = 225 .............................(I)
(Polarform der Ellipsengleichung)
Wir bestimmen die vier Berührungspunkte und setzen
dann die Koordinaten in die Gleichung (I) ein; y1 ergibt
sich aus der Gleichung (x1 = 4 in E eingesetzt) :
9 * 16 + 25 * y1 = 225 zu y1 = 9/5 = 1.8
Da die Ellipse bezüglich der Koordinatenachsen
symmetrisch ist, erhalten wir die y-Werte der anderen
Punkte auf einen Schlag, ihre Werte sind
plus / minus 9/5 = plus/minus 1.8.
Also:
P1 (4 / 1.8), eingesetzt in (I) gibt die erste Tangente t1,
t1: (vereinfachte Gleichung) : 4 x + 5 y = 25; analog:
P2 ( 4 / - 1.8 ) t2 :4 x - 5 y = 25
P3 (-4 / 1.8 ) t3: -4 x + 5 y = 25
P4 (-4 / -1.8 ) t4: -4 x - 5 y = 25
Die Schnittpunkte dieser Tangenten mit den Koordinatenachsen
sind: A( 6.25 / 0) , B ( 0 / 5) , C ( -6.25 / 0 ) ,D ( 0 / - 5 ).
Das Viereck ABCD ist ein Rhombus, weil die Diagonalen
(sie liegen auf den Koordinatenachsen) aufeinander senkrecht
stehen und sich gegenseitig halbieren).
Die Fläche des Vierecks ist F = 2* 6.25 * 5 = 62.5.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Linda (Lindl)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 21:49: |
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Hallo H.R.Moser,megamath.
Ich möchte mich bei Dir bedanken, daß du mir so schnell mit meinem
mathematischen
Problem helfen konntest.
Gruß Linda |
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