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Clara (Clara)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 15:49: | 
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hi,
ich bräuchte die herleitung von mittelwerten. dazu hab ich mir schon all das angeschaut was irgendwann im august dazu gesagt wurde, nur ergab dass alles nur bahnhof.....
falls also jemand die herleitung kennt, fände ich das schon wirklich ganz toll..
danke
clara. |
Markus
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 17:19: |
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Ok, vielleicht hilft meine Erklärung :
der Mittelwert ist ein Wert, der zustande kommt,
wenn man alle Einzelwerte addiert und durch ihre
Anzahl teilt. Beispiel : 3,4,5,6 -> Mittelwert =
3+4+5+6 / 4 = 18/4 = 4,5.
WM_ichhoffedashilft Markus |
Clara (Clara)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 18:37: |
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klingt wirklich logisch, danke dafür, nur, auf diese art kann man doch nicht die mittlere temperatur z.b. ausrechnen, das wäre doch eigentlich zu leicht um war zu sein...
vorallem in anbetracht dessen, das das ja irgendwas mit integralen zu tun haben muss, schliesslich wird es zur gleichen zeit duchgenommen.... |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 20:05: |
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Hi Clara!
Wenn man Einzelwerte hat, dann berechnet man den Mittelwert dieser Einzelwerte so, wie Markus das beschrieben hat.
Der Mittelwert der Zahlen 2; 3; 4; 5; 6 ist somit 4.
Wenn es sich aber um eine Funktion handelt, dann sieht das ganze schon etwas anders aus:
Es ist nicht mehr so einfach, alle Funktionswerte zu addieren, denn es sind ja unendlich viele.
Ein etwas an den Haaren herbeigezogenes Beispiel kann dir dabei helfen:
Wenn sich die Temperatur T in Abhängigkeit von der Zeit so ändert, dass in den ersten 10 Minuten der Messung die Temperatur sich von 20°C immer gleichstark um insgesamt 10°C erhöht, dann erhöht sie sich pro Minute um 1°C und man kann einen Funktionsterm für T angeben:
T(t) = 20 + t (t: Zeit in Minuten)
Das heißt nach 3 Minuten haben wir 23°C, denn
T(3) = 20 + 3 = 23
Nach 5 Minuten haben wir 25°C, denn
T(5) = 20 + 5 = 25
Nach 5,8 Minuten haben wir 25,8 °C, denn
T(5,8) = 20 + 5,8 = 25,8
Die mittlere Temperatur m in diesen 10 Minuten liegt bei m = 25°C
Aber wie kann man diese mittlere Temperatur berechnen?
Dazu muss man sich überlegen, was heißt eigentlich mittlere Temperatur:
Zeichnet man den Funktionsgraphen auf, so hat man eine Gerade (Steigung 1, Achsenabschnitt 20).
Der Mittelwert ist eine Konstante, also kann er als Parallele zur x-Achse eingezeichnet werden.
Man stellt fest, dass der Inhalt A1 der Rechtecksfläche zwischen der Mittelwertgerade und der x-Achse genauso groß ist wie der Inhalt A2 der Trapezfläche zwischen x-Achse und Funktionsgraph.
(Jeweils von 0 bis 10)
Es gilt:
A1 = 10*25 (Länge mal Breite)
Allgemeiner:
A1 = m*(b-a) (b: obere Intervallgrenze; a: untere I-Grenze)
(Hier: b = 10; a = 0)
A2 ist aber der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse, also gleich dem Integral
A2 = òa bf(x)dx
Der Mittelwert m wird nun tatsächlich so definiert, dass gilt:
A1 = A2
Damit:
m*(b-a) = òa bf(x)dx
m = 1/(b-a) * òa bf(x)dx |
Clara (Clara)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 10:12: |
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danke holger, das klingt alles sehr hilfreich... |
Clara (Clara)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 11:35: |
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so, und jetzt hoffentlich nur noch eine sache, wie kann ich denn beweisen, dass A1=A2?
ich habs mit den konkruenzsätzen versucht, aber über einen gleichen rechten winkel kam ich nicht hinaus..... |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 15:08: |
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Hi Clara!
Du musst eigentlich gar nicht beweisen, dass A1 = A2, denn der Mittelwert ist so definiert, dass die Rechtecksfläche A1 gleich der Fläche A2 unter dem Graphen ist.
Aber die beiden Flächen im Beispiel sind gleich, das kann man zeigen:
A1 = 10*25 = 250
A2 = ò0 10 (20+t)dt = [20t +t²/2]010 =
200 + 50 - 0 = 250
Hoffentlich habe ich dein Problem verstanden, wenn nicht, dann schreib mir mal die Aufgabenstellung.
Liebe Grüße
Holger |
Clara (Clara)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 17:09: |
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also, erstmal, danke dass du dich an einem samstag nachmittag mit mathe beschäftigen willst...
die sache ist nämlich die, dass ich den mittelwert in einem referat herleiten soll, und da weiss ich nicht ob mein lehrer vielleicht den beweis haben will..., so im allgemeinen...
ansonsten hab ich das alles verstanden, ist ja eigentlich auch nicht so schwer, nur wie gesagt, dass A1 gleich A2 ist kann man doch nicht einfach so annehmen, oder? |
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