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Beitrag |
    
Ralph
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 1999 - 13:10: | 
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wer kann dieses integral lösen (den lösungsweg zeigen)
int((-x+2)/(x^2-x+1)) dx |
Adam Riese
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 1999 - 23:25: |
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Sei f(x)=(-x+2)/(x²-x+1). Gesucht ist also òf(x)dx.
Mit g(x)=(2x-1)/(x²-x+1) und h(x)=1/(x²-x+1) gilt dann
f(x)=-1/2 g(x) + 3/2 h(x)
und damit
òf(x)dx = -1/2 òg(x)dx + 3/2 òh(x)dx
Also müssen wir "nur" noch die Stammfunktionen G und H von g und h berechnen:
G(x)=ln|x²-x+1|
[Es gilt immer G(x)=ln|b(x)| für G(x)=a(x)/b(x) wenn b'(x)=a(x)]
Da arctan'(x)=1/(1+x²) gilt =>
h(x)=1/(x²-x+1)=4/3{1/[1+(4x²-4x+1)/3]}=4/3{1/[1+((2x-1)/Wurzel(3))²]}=2/Wurzel(3) * {arctan'[(2x-1)/Wurzel(3)]}
=> H(x)=2/Wurzel(3)* arctan[(2x-1)/Wurzel(3)]
Jetzt haben wir's ja. Also gilt:
ò(-x+2)/(x²-x+1) = -1/2 ln|x²-x+1| + 1/Wurzel(3)* arctan[(2x-1)/Wurzel(3)]
Bildchen von f(x)=(-x+2)/(x²-x+1)
Gute Nacht von Adam :-) |
Ralph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. April, 1999 - 12:56: |
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vielen dank für die hilfe |
bene
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 1999 - 15:59: |
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Wer kann diese Aufgabe lösen??(den Lösungsweg zeigen)
Welche Werte müssen in f(x)=ax^2+bx+c für die Koeffizienten a,b und c eingesetzt werden,damit der Graph von f bei x=1 die x-Achse von untehn nach oben schneidet,bei x=3 seinen Scheitelpunkt hat und mit der x-Achse eine Fläche mit dem Flächeninhalt A=32 FE einschließt?
bitte,bitte helft mir!! |
hanno
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 1999 - 16:03: |
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Wer kann diese lösen??(Lösungsweg angeben)
Wie kann man die Formel A=((a+c)*h)/2 für den Flächeninhalt eines Trapezes herleiten??? |
basti
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 1999 - 16:06: |
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Wer kann diese Aufgabe lösen??(Lösungsweg bitte angeben)
Eine nach oben geöffnete quadratische Parabel schneidet die x-Achse in (-1/0) und (3/0) und schließt mit x-Achse eine Fläche von A=32 FE ein.Welche Gleichung hat die zugehörige Funktion?? |
Fissel
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 1999 - 16:12: |
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Wer ist in der Lage diese Aufgabe zu lösen ??(Mit Lösungsweg, wenn es geht )
Der graph der Funktion f mit f(x)=x^2*(x+3) schließt mit der negativen x-Achse ein Flächenstück ein.
a) Flächeninhalt des Flächenstückes ?
b) Eine Parallele zur y-Achse durch den lokalen Hochpunkt des Graphen teilt das Flächenstück auf.
In welchem Verhältnis stehen die beiden Flächeninhalte zueinander?
c) Dur den lokalen Hochpunkt des Graphen soll eine Gerade so gelegt werden, dass sie das von Graph f und der x-Achse eingeschlossene Flächenstück halbiert. Welche Gleichung hat diese Gerade ? |
Daniela
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 1999 - 18:30: |
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Hallo bene,
Du hast ja folgendes gegeben:
f(x) = ax2 + bx + c, dann den Punkt P(1,0), den Scheitelpunkt bei x = 3 und den Flächeninhalt 32 FE.
Nun stellst Du anhand der gegebenen Größen 3 Gleichungen auf:
1. 0 = a + b + c ; P(1,0)
2. (laut Tafelwerk) Scheitelpunkt liegt bei
S = (-b / 2a, c - b2/4a)
3 = -b/2a ; x = 3
3. 32 = ò1 5(ax2 + bx + c) dx
= [a/3x3]1 bis 5 + [b/2x2]1 bis 5 + [cx]1 bis 5
= (125/3a - a/3) + (25/3b - b/2) + (5c - c)
Bemerkung: 1 bis 5 soll die Grenzen anzeigen.
Nun löst Du das Gleichungssystem durch schrittweises Eleminieren der einzelnen Unbekannten. Dann erhältst Du folgendes:
a = -3, b = 18 und c = -15.
Gruß Daniela. |
bene
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Mai, 1999 - 17:30: |
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Vielen Dank für die Hilfe; hast mir echt geholfen!! |
Daniela
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Mai, 1999 - 18:34: |
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Hi Fissel!
a) Zuerst bestimmst Du die Nullstellen der Funktion. Das wären (0,0) und (-3,0). Nun bildest Du das Integral der Funktion mit den Grenzen von -3 bis 0:
ò-3 0(x3 + 3x2)dx =
ò-3 0x3dx + 3ò-3 0x2dx =
[1/4 x4]-3 bis 0 + 3[1/3 x3]-3 bis 0 =
... = 27/4 FE
b) Jetzt ermittelst Du erstmal den Hochpunkt. Dazu bildest Du die erste und zweite Ableitung:
f'(x) = 3x2 + 6x
f''(x) = 6x + 6
Nun noch schnell die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: N1(0,0) und N2(-2,0).
Diese in die zweite Ableitung eingesetzt:
f''(0) = 6 => 6 > 0 => Tiefpunkt
f''(-2) = -6 => -6 < 0 => Hochpunkt
Nun kannst Du das Integral von -2 bis 0 berechnen:
... siehe a) ... und Du erhälst 4FE;
und dann berechnest Du das Integral von -3 bis -2:
... und Du erhälst 11/4FE.
Das Verhältnis der beiden Flächen liegt ja auf der Hand mit 16/11.
c) Erstmal berechnest Du die Hälfte des Flächeninhalts von a). Da 4 größer als 11/4 ist, müssen wir von dem 4er Flächeninhalt ein bißchen was weg nehmen:
4 - (27/4 * 1/2) = 5/8
Stelle Dir vor die Gerade durch den Hochpunkt schneidet die x-Achse und es entsteht somit ein Dreieck. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks muß also 5/8FE sein.
Die Höhe des Dreiecks ist praktisch der y-Wert des Hochpunktes (-2,4).
A = 1/2 a*b = 1/2 * 4 * b
b = 5/16
Die Gerade schneidet die x-Achse im Punkt P(-27/16,0), da b = 5/16 ist und der Hochpunkt den x-Wert von -2 hat:
-2 + 5/16 = -27/16
Nun stellst Du die Geradengleichung auf:
y = mx + n und setzt alles was Du weißt ein:
H(-2,4) und P(-27/16,0).
Du erhälst ein Gleichungssystem und eleminierst die unbekannten Größen. Dann erhälst Du:
y = -64/5x - 108/5.
Ich hoffe, ich konnte Dir ein bißchen helfen.
Gruß Daniela. |
Daniela
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Mai, 1999 - 19:00: |
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Hallo Basti,
mit Hilfe der gegebenen Größen kannst Du 3 Gleichungen aufstellen:
f(x) = ax2 + bx + c
1. 0 = a - b + c
2. 0 = 9a + 3b + c
3. 32 = a ò-1 3x2dx + bò-1 3xdx + cò-1 3dx
32 = ... = 28/3a + 4b + 4c
Nun stellst Du nacheinander die Gleichungen alle um und eleminierst die Unbekannten. Du erhälst:
a = -3, b = 6 und c = 9.
Gruß Daniela. |
Daniela
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 1999 - 12:43: |
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Hallo hanno,
ich habe jetzt mal vorausgesetzt, daß Du die Höhe h schon gegeben hast. Mal Dir mal ein Trapez auf. Dann siehst Du, daß Du, wenn Du die Höhe am Punkt C und D einzeichnest, ein Rechteck in der Mitte und zwei Dreiecke erhälst. Der Flächeninhalt für das Rechteck berechnet sich:
A1 = c*h
und der Flächeninhalt der Dreiecke berechnet sich durch:
A2 = ((a - c)*h)*(1/2)
Beide Gleichungen zusammenaddiert, ergibt:
A = (a*h - c*h)*(1/2) + c*h = (a + c)*(1/2)*h.
Gruß Daniela. |
Bianca
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 1999 - 13:12: |
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Wer kann mir bei der Lösung dieses Integrals durch Substitution helfen? (Bitte mit Lösungsweg)
Integral sin 2 wurzel aus x/wurzel aus x mal dx
Die Integrationsgrenzen sind pi² (oben) und 0 (unten)
Schon mal vielen Dank Bianca |
Einstein (Einstein)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 1999 - 23:10: |
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Das störende an dem Integral ist die Wurzel im Sinus, also versuch mal den Ansatz t=2wurzel(x).
Dann ist nämlich x=0.25t2 und somit dx=t/2.(Ableitung von x nach t)
Setze dies in das Integral ein und ändere die Grenzen (Denn pi2 ist ja auf x bezogen) zu 2wurzel(pi 2) und 2wurzel(0). Dann wird es wesentlich einfacher :
ò0 pi2 sin(2wurzel(x))/wurzel(x) dx
=ò0 2pi sin(t)/(t/2) * t/2 dt
=ò0 2pi sin(t)dt
=0
Die obere Grenze beim ersten Integral ist pi2
Falls noch was unklar ist,frag ruhig. |
Bianca
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Mai, 1999 - 15:26: |
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Hallo Gerd also ich frage wirklich nochmal nach.
Wie bist Du auf x=0,25t gekommen? In den Übungsaufgaben wurde immer der Nenner Substituiert in meinem Fall währe das x oder spielt es im Grunde keine Rolle? Ich habe mit dem Schritt der Substitution vor allem Schwierigkeiten und verstehe auch nicht wo man was einsetzt. Das hört sich ziemlich verworren an. Aber ich habe tatsächlich nicht allzuviel begriffen. Wenn Du mir noch mal auf die Sprünge helfen könntes währe ich also wirklich dankbar. Bianca |
Bianca
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Mai, 1999 - 15:31: |
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Sorry natürlich meine ich Einstein(Einstein),danke aber auch Gerd für den Hinweis bezüglich meiner Schwierigkeiten mit den Integralrechenwegen.Bianca |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Mai, 1999 - 15:46: |
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x=0.25 t erhält man, indem man t=2wurzel(x) nach x umstellt.
Grundsätzlich führt nicht jede Substitution zum Ziel, so dass man manchmal mehrere Versuche machen muß, etwas zu substituieren, dazu gehört dann auch, für alle restlichen x ebenfalls die analog zu oben umgestellte Beziehung einzusetzen, auch für das dx, so dass man kein x mehr im Integral behält.
Das Ersetzen des dx funktioniert gut nach folgender "Merkregel":
1. leite t (als Funktion von x) nach x ab
2. schreibe formal (dt/dx) für diese Ableitung und stelle dies nach dx um.
Weiter integriert man dann:
3. Ersetze x mit Deiner Idee für die Substitution,
alle übrigen x ebenfalls und auch das dx, so
dass jetzt gar kein x mehr im Integral steht.
4. Ersetze die Grenzen des Integrals (formal nötig, kann aber bei unbestimmten Integralen
nur auf die Art geschehen, t(x2) und t(x1) zu schreiben.
5. Integriere (nach t)
6. Re-Substituiere, ersetze also t wieder durch x nach der umgestellten Beziehung, die Grenzen wieder durch die ursprünglichen. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Mai, 1999 - 20:41: |
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Hallo Bianca,
vielleicht noch ein Paar grundsätzliche Worte zur Substitution :
Ziel ist es dabei x durch eine Funktion zu ersetzen(substituieren=ersetzen), die einen einfacheren Therm liefert. Formal heißt das
x=f(t). Wie mein Vorgänger bereits geschrieben hat ist dann dx/dt = f'(t) jeweils die Ableitung, also muß zur vollständigen "Eliminierung" des x auch dx=f'(t)dt gesetzt werden. Da die ursprünglichen Integralgrenzen aber bzgl. x angegeben sind, müssen auch sie verändert werden, indem Du t als Funktion von x darstellst und sie dann dort einsetzt.Ich hoffe das hilft Dir weiter. |
Bianca
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Mai, 1999 - 12:36: |
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Vielen Dank Euch beiden!
Ich werde mich jetzt nochmal dransetzen und sehen wie es klappt aber ich denke langsam sehe ich durch.
Bianca |
Bianca
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 1999 - 16:50: |
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So da bin ich wieder!
Ja mit der Substitutionsaufgabe habe ich mich bis zum Schluß durchgequält und bin letztendlich auf das selbe Ergebnis gekommen. Nun stehe ich vor einem neuen Problem ein Integral: sin³x dx Int. oben pi/2 unten 0 ist durch partielle Integration zu lösen. In der Erläuterung sieht das Modell so aus int. b oben a unten f(x) *g'(x) dx= [f(x)*g(x)] b oben a unten - int. f'(x) * g(x) dx Mit den Ableitungen habe ich weiter kein Problem aber was ist f(x) und was g(x) und was geschieht mit (hoch 3)
also falls mir das jemand erklären kann wäre ich wirklich dankbar. Bianca |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Mai, 1999 - 01:37: |
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Hallo Bianca,wenn Du die Substitution verstanden hast,sollte die partielle Integration kein Problem mehr sein,denn sie ist viel einfacher.
Nun zu Deinem Problem :
da sin3(x)=sin2(x)*sin(x) mußt Du für deine Formeln folgende Funktionen verwenden :
f(x)=sin2(x) und g'(x)=sin(x). Das führt dann zu folgender partiellen Integration :
ò sin3(x)dx =òsin2(x)sin(x)dx
=-sin2(x)cos(x)-ò2sin(x)cos(x)(-cos(x))dx
=-sin2(x)cos(x)+2òsin(x)cos2(x)dx
Jetzt muß man einen kleinen "Trick" anwenden : cos2(x)=1-sin2(x)
Also kann man das Ergebnis umschreiben :
-sin2(x)cos(x)+2òsin(x)(1-sin2(x))dx
=-sin2(x)cos(x)+2òsin(x)-sin3(x)dx
=-sin2(x)cos(x)-2cos(x)-2òsin3(x)dx
Wie Du siehst,steht rechts wieder das ursprüngliche Integral,so daß jetzt nur noch umgeformt werden muß :
òsin3(x)dx=-1/3*(sin2(x)cos(x)+2cos(x))
oder unter verwendung obigen Tricks :
...=-cos(x)-1/3cos3(x)
Die Aufgabe scheint nur deshalb schwer,weil sie nicht allein mit der partiellen Integration zu lösen ist,sondern auch etwas trigonometrisches Wissen verlangt. |
Bianca
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 1999 - 20:58: |
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So nun bin ich damit durch. Du hattest recht war wirklich leichter als substitution. Jedenfalls konnte ich ähnliche Aufgaben allein lösen. Also vielen Dank noch mal. Bianca |
Sven-H.
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 1999 - 15:09: |
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Ich brauche dringend hilfe*verzweiflung* bei der nun folgenden Aufgabe:
Beschreiben Sie den Flächenstück, das zwischen den Graphen der Funktion f1(x)=Wurzel x+2 und f2(x)=2-xdurch2 und der positiven x-Achse liegt, ein Rechteck größten Inhalts bzw. größten Umfangs ein!
Ich bedanke mich schoneinmal im vorraus!!! :-)
Ciao euer Sven |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 1999 - 23:15: |
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Lese ich die Funktionen richtig: f1(x)=Wurzel(x+2) und f2(x)=2 - x/2 oder habe ich eine Klammer zuviel oder zu wenig gesetzt? |
Sven
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 1999 - 13:27: |
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An Anonym:
Hast du richtig gelesen!!! |
Andreas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 1999 - 16:45: |
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Sorry Sven, aber mir geht es wie Anonym. Entweder spinne ich total, oder die Aufgabe macht so, wie sie dasteht, keinen Sinn. |
Adam Riese
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 1999 - 00:04: |
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Wenn die Funktion also so heißt, dann kann man schon ein Quadrat maximieren, aber die Wurzelfunktion könnte man sich sparen ohne daß das Ergebnis sich ändert (den Beweis dazu führe ich jetzt nicht). Und da Mathelehrer meistens keine Fans von überflüssigen Formulierungen sind, wundert mich diese Aufgabenstellung auch.
Das Rechteck ist eindeutig definiert durch den Ursprung und einen Punkt auf der grünen Gerade.
Die Flächenfunktion ist q(x)=x*(2-x/2).
Diese Funktion nach x maximieren. Kannst Du das? Versuch es bitte (Lösung: x=2)
Der Rechtecksumfang ist 2x+2(2-x/2)=4+x, das ist maximal, wenn x maximal ist, also bei x=4 (siehe Graph, aber ausrechnen muß schon sein).
Dann kommt als maximaler Umfang eines einbeschriebenen Rechtecks 8 heraus.
Sven, jetzt sagst Du uns sicher noch, ob ihr das in der Schule auch so gemacht habt oder ob es einen Haken gibt?
Ciao, Adam |
Tobo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juni, 1999 - 18:44: |
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Hi,
kann mir jemand kurz erklären, wie integralrechnen
funktioniert. Ich habe weder Buch noch Heft. Bräuchte aber dringend die Basics.
Tobo |
Adam Riese
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juni, 1999 - 15:20: |
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Hi Tobo,
Bei Klick hier öffnet sich ein neues Fenster und Du findest dort die Basics zur Integralrechnung sehr anschaulich erklärt und auch weiterführendes. Insbesondere das Thema Flächenberechnung unter Kurven empfehle ich Dir.
Sicher wird noch die ein oder andere spezielle Frage auftauchen, die Du dann ja hier im Board stellen kannst.
Grüße,
Adam |
Böpple
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 1999 - 16:34: |
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Ich brauche dringend Hilfe im Bereich Integralrechnung!
Die Aufgabe lautet:
Bestimme diejenige Ursprungsgerade, die den durch
die 1.Achse und durch y=-x²+6x bestimmten Parabelabschnitt in zwei inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt.
Um ehrlich zu sein, da verstehe ich nicht ganz, was ich zuerst rechnen soll.
Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand mir diese
Aufgabe erklären könnte... |
Pi*Daumen
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 1999 - 15:22: |
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Die Gerade hat die Form y=mx, berechne jetzt für beliebiges m die Flächen der beiden Abschnitte. Das kannst Du in Abhängigkeit von m tun. Dann setzte beide Flächen(formeln) gleich und daraus, aus dieser Gleichung) errechnest Du dann m.
Viel Glück.
Pi*Daumen |
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