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Beitrag |
    
Julia (Cherie)
Mitglied
Benutzername: Cherie
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 12:14: | 
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Hallo! Im rahmen meiner Facharbeit habe ich mich gefragt, ob es wohl eine Funktion gibt, die nirgends stetig ist. Gibt es das? Wenn ja, würde ich mich über ein Beispiel freuen!!!
Liebe Grüße - Julia |
Mike Schneider (Mikey_mike)
Mitglied
Benutzername: Mikey_mike
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 13:36: |
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Hallo Julia,
hier eine von mehreren Seiten im Netz für unstetige Funktionen.
Hoffe, es hilft
http://schulen.eduhi.at/derive/d43.htm
Gruß, Mikey |
MoritzderSchlaue
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 19:59: |
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Hallo Julia,
die Antwort von Mike hat nichts mit deiner Frage zu tun.
Eine Funktion, die nirgens stetig ist, ist die Dirichletsche Funktion:
f(x)= 1 für alle rationalen x
= 0 für alle irrationalen x |
Zaph (Zaph)
Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 20:16: |
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Die Antwort von MoritzdemSchlauen ist natürlich völlig okay!
Aber frag dich mal das folgende:
Gibt es eine Funktion, die überall stetig aber nirgends differenzierbar ist?
Gibt es eine Funktion, die an einer Stelle x differenzierbar ist, aber deren Ableitung an der Stelle x nicht stetig ist? |
Mike Schneider (Mikey_mike)
Mitglied
Benutzername: Mikey_mike
Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 12:08: |
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Hallo Moritz, Hallo Julia,
muss mich für den falschen Link entschuldigen, war mit dem Gedanken noch bei den anderen Funktionen.
Moritz hat aber ohnehin schon die richtige Antwort gegeben.
Gruß, Mikey |
Julia (Cherie)
Mitglied
Benutzername: Cherie
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 14:08: |
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Also Jungs, ihr seid ja echt klasse, aber irgendwie habt ihr mich jetzt verwirrt...
Also, wenn ich das richtig verstanden habe, ist eine Dirichletsche Funktion nirgends stetig... Aber was genau diese Dirichletsche Funktion ist, hab ich nicht verstanden... Wie wäre es mit einem konkreten Rechenbeispiel, habe sonst Angst was falsches in meine Facharbeit mit einzubauen...
Dann hätte ich noch eine Frage und zwar für die Signum-Funktion. Wie kann ich da die Unstetigkeit an der Stelle 0 beweisen?
Liebe Grüße, Julia |
TS
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 21:39: |
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Hi Julia,
bei der Dirichlet-Funktion kannst du nichts rechnen. Die ist so definiert, dass sie in jedem noch so kleinen Intervall zwischen 0 und 1 pendelt.
Hast du die Signum-Funktion schon mal gezeichnet? Wenn ja, dürfte sich der Beweis fast von selbst ergeben, oder? Wenn nicht, melde dich nochmal.
Grüße,
Thomas
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Julia (Cherie)
Mitglied
Benutzername: Cherie
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. März, 2002 - 21:37: |
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Ja klar habe ich die Signum.Funktion schon mal gezeichnet und es ist mir auch so klar, dass sie an der Stelle 0 nicht stetig ist, aber in meiner Facharbeit müsste ich das schon auch irgendwie rechnerrisch zeigen bzw erklären... Das muss doch auch irgendwie gehen... Vielleicht kannste das ja... aber nur wenn es keine Umstände macht.
Wie sieht es eigentlich weiter mit den Anregungen von Zaph aus? Kann mir dazu jemand was sagen? Oder Zaph vielleicht selbst? ;o) Das wären nämlich noch wirklich interessante Themen für meine Facharbeit...
Liebe Grüße - Julia |
MoritzderSchlaue
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. März, 2002 - 23:10: |
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Hallo allerseits, hier kommt noch eine Funktion, die stetig ist und nirgens differenzierbar ist:
f(x) = S n=0¥ Bncos(Anpx)
wobei A und B Konstanten sind mit 0 < B < 1
und A*B > 1+3p/2
Diese Funktion trägt den Namen ihres Entdeckers: Weierstraß |
Zaph (Zaph)
Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. März, 2002 - 11:52: |
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Hallo Julia, ich bekomme in letzter Zeit keine E-Mail mehr, wenn auf meine Beiträge geantwortet wird, deshalb habe ich deine Nachfrage erst heute durch Zufall entdeckt.
Hast du das mit der Dirichletschen Funktion mittlerweile begriffen? Es ist z. B. f(0,5) = 1, da 0,5 rational, und f(Wurzel(2)) = 0, da Wurzel(2) irrational. Da sich in jedem noch so kleinem Intervall immer rationale und irrationale Zahlen befinden, "springt" die Funktion also immer und überall zwischen Null und Eins.
Das mit der überall stetigen und nirgends differenzierbaren Funktion ist für eine Facharbeit zu schwer. Aber du kannst es ja erwähnen und die von MoritzdemSchlauen angegebene Funktion zitieren.
Die Funktion
f(x) = x² * sin(1/x) für x ungleich Null
f(0) = 0
ist überall differenzierbar, aber die Ableitung ist bei 0 unstetig. Versuch mal die Funktion und deren Ableitung zu skizzieren. |
TS
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. März, 2002 - 18:27: |
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Hallo Julia,
ein formaler Beweis, dass die Signum-Funktion in 0 nicht stetig ist, könnte so aussehen. (Verwende folgende Definition von Stetigkeit: Eine Funktion f ist stetig an der Stelle 0, wenn für jede Folge, die gegen 0 konvergiert, die Folge der Funktionswerte gegen f(0) konvergiert.)
Betrachte eine Folge xn, die von links gegen 0 geht: f(xn)=-1, also limf(xn)=-1.
Betrachte eine Folge xn, die von rechts gegen 0 geht: f(xn)=1, also limf(xn)=1.
Folglich gibt es zwei verschiedene Grenzwerte. Das bedeutet Unstetigkeit.
Grüße,
Thomas
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Julia (cherie)
Neues Mitglied
Benutzername: cherie
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 13:33: |
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Also das mit der Dirichletschen Funktion habe ich zwar soweit verstanden, glaube ich, aber ich wüsste nicht, wie ich das in meine Facharbeit reinbringen könnte...
Die Funktion von MoritzdemSchlauen ist mir ehrlichgesagt zu hoch... Das schnall ich ja noch nicht mal und wenn ich dann noch nicht mal ein Buch als Quelle angeben kann, stresst mein Lehrer!
Tja, und deine (Zaph) zweite Funktion kann ich auch nicht verwenden, da ich auf Trigonometrische Funktionen gar nicht eingehe... ;o)
Mann, bin ich schwierig, hm? ;o)
Aber wie sieht es eigentlich mit meine eigentlichen Frage aus? GIbt es noch andere Funktionen, die nirgends stetig sind..?
Liebe Grüße - Julia
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Zaph (zaph)
Junior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 17:14: |
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Es gibt haufenweise solche Funtionen. Nimm zwei beliebige Funktionen f1(x) und f2(x), sodass f1(x) niemals gleich f2(x) ist. Definiere dann
f(x) = f1(x) falls x rational
f(x) = f2(x) falls x irrational
f ist nirgends stetig.
Interessant ist auch die folgende Funktion:
f(x) = 0 falls x irrational
f(x) = 1/q falls x = p/q und ggT(p,q) = 1.
f ist an jeder rationalen Stelle unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig. |
Julia (cherie)
Neues Mitglied
Benutzername: cherie
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 17:21: |
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Hm, lässt sich diese Funktion
f(x) = f1(x) falls x rational
f(x) = f2(x) falls x irrational
f ist nirgends stetig.
auch noch irgendwie ausführlicher beweisen, sodass es Facharbeitstauglich ist? Würde das dann nämlich ganz gerne noch etwas größer aufziehen, sodass ich einen ganzen Gliederungspunkt dafür verwenden kann.... |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 20:59: |
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Klar kann man das. Wie hast du denn bewiesen, dass die Dirichlet-Funktion nirgends stetig ist? Müsste eigentlich genau so gehen. Bin die nächsten Tage leider nicht da. Musst also selbst klar kommen, oder jemand anders muss helfen. |
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