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Jochen3750
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 21:14: | 
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kx^4-(k+1)x^2
a)Best. sie die punkte mit waagerechten tangenten am Graphen!
b)Zeigen sie,daß sich alle kurven dieser Schar genau für x=0,x=1 und x=-1 schneiden.
c)Berechnen sie für k größer 0 die Fläche,die die Graphen der Schar mit der x-Achse einschließen.
d)Für welches k größer 0 wird die eingeschlossene Fläche mit der x-Achse minimal? |
Integralgott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. März, 2002 - 14:56: |
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Hallo Jochen3750!
Da die Aufgabe etwas umfangreicher ist, unterteile ich meinen Beitrag wie die Teilaufgaben.
a)
Waagerechte Tangenten bedeutet Steigung 0, daher muss die erste Ableitung 0 gesetzt werden:
fk'(x) = 4kx³-(2k+2)x
4kx³-(2k+2)x = 0 <=> x[4kx²-(2k+2)] = 0
Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
=> x1 = 0
4kx²-(2k+2) = 0 <=> 4kx² = 2k+2 <=> x² = k+1/2k
=> x2,3 = ±Ö(k+1/2k)
Die Funktionswerte sind:
fk(0) = 0
fk(±Ö(k+1/2k)) = -(k+1)²/4k
Die Punkte sind also:
P1 (0 | 0)
P2 (Ö(k+1/2k) | -(k+1)²/4k)
P3 (-Ö(k+1/2k) | -(k+1)²/4k) |
Integralgott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. März, 2002 - 15:03: |
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b)
Zu zeigen ist, dass die Funktionsgleichung an den gegebenen Stellen von k unabhängig ist, da für jedes k der gleiche Funktionswert entsteht.
fk(-1) = k*(-1)4-(k+1)*(-1)² = k-k-1 = -1
fk(0) = k*04-(k+1)*0² = 0
fk(1) = k*14-(k+1)*1² = k-k-1 = -1
Alle drei Funktionswerte sind unabhängig von k und damit für jede Funktion fk(x) gleich. |
Integralgott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. März, 2002 - 15:59: |
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c)
Bevor die Fläche durch Integrieren bestimmt werden kann, müssen die Grenzen klar sein. Daher müssen zunächst die Nullstellen der Funktion berechnet werden.
kx4-(k+1)x² = 0 <=> x²[kx²-(k+1)] = 0
=> x1,2 = 0
kx² = k+1 <=> x² = k+1/k
=> x3,4 = ±Ö(k+1/k)
Da die Funktion achsensymmetrisch zur y-Ache ist (es kommen nur gerade x-Potenzen vor) reicht die Berechnung einer Teilfläche aus. Die gesamte Fläche ergibt sich dann durch Verdoppeln des Wertes. Zunächst wird die Stammfunktion bestimmt:
ò(kx4-(k+1)x²)dx = k/5*x5 - k+1/3*x³ + Konstante
Es müssen nun die Grenzen eingesetzt werden, die Konstante fällt heraus: Untere Grenze 0, obere Grenze Ö(k+1/k)
At = -Ö(k+1/k)*2(k+1)²/15k
Die Gesamtfläche ist dann:
A = -Ö(k+1/k)*4(k+1)²/15k |
Integralgott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. März, 2002 - 16:58: |
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d)
Die Extremalbedingung ist die Funktion der Fläche in Abhängigkeit von k. Etwas umgeschrieben lautet sie:
A(k) = (-2/15)*(k+1)(5/2)*k(-3/2)
Von dieser Funktion müssen nun die Extremwerte bestimmt werden. Dazu wird die Ableitung 0 gesetzt. Bei der Ableitung muss die Produktregel angewendet werden:
A'(k) = (1/5)*(k+1)(5/2)*k(-5/2) - (1/3)*(k+1)(3/2)*k(-3/2)
(1/5)*(k+1)(5/2)*k(-5/2) - (1/3)*(k+1)(3/2)*k(-3/2) = 0
<=> (1/5)*(k+1)(5/2)*k(-5/2) = (1/3)*(k+1)(3/2)*k(-3/2)
<=> k+1/k = 5/3
<=> k = 3/2
Streng genommen müsste man mit Hilfe der zweiten Ableitung überprüfen, ob eine Extremstelle vorliegt und welcher Art sie ist. Ich will hier darauf verzichten und gehe davon aus, dass eine gültige Extremstelle vorliegt, bei der ein Minimum zu finden ist. Es ist schließlich der einzige Wert, den man herausbekommt.
MfG, Integralgott |
Integralgott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. März, 2002 - 17:05: |
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Hallo Jochen3750!
Ich habe gerade gesehen, dass ich nicht die gesamtfläche als Extremalbedingung verwendet habe, sondern nur die Teilfläche. Das Ergebnis ändert sich jedoch nicht, da sich der Faktor 2 wieder herauskürzt. Auch anschaulich dürfte das klar sein: Wenn bei einer symmetrischen Funktion die Fläche auf einer Seite am kleinsten wird, so wird wohl auch die gesamte Fläche am kleinsten sein.
MfG, Integralgott |
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