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stefan kontradowitz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 19:16: | 
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Wenn mir jemand sagen könnte woran ich erkennen kann das richtungsvektoren linear abhängig bzw unabhängig sind wäre ich ihm/ihr sehr dankbar
da ich freitag meine letzte matheklausur schreiben werde und wenn ich nicht 5 punkte erreiche mein abi wohl abschreiben kann.
außerdem könnte ich hilfe bei folgender aufgabe benötigen:
gegeben sei das viereck A(2/1/0) B(10/3/8)
C(8/5/6) D(4/3/2) bestimme die schnittpunkte der gegenüberliegenden seitengeraden und der diagonalen.
letzte frage. wie kann ich den schnittpunkt zweier geraden berechnern. ich habe einige wege gefunden, war aber zu doof auch nur einen zu verstehen.
ich danke allen die mir helfen
stefan |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 20:25: |
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Nun, wenn der eine Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist, dann sind sie linear abhängig, sonst nicht.
(Beispiel:
(5/2/3) und (7,5/3/4,5) sind linear abhängig, da 1,5*(5/2/3)=(7,5/3/4,5).)
Wie prüft man dies:
r1 und r2 seien reelle zahlen.
Folgt aus r1*(5/2/3)+r2*(7,5/3/4,5)=(0/0/0), dass r1 und r2 0 sein müssen ?
I) 5*r1+7,5*r2=0
II) 2*r1+3*r2=0
III) 3*r1+4,5*r2=0
I-(5/2)*II)
=>
0=0. Also nehmen wir (I)
5r1=-7,5r2
<=>
r1=-1,5r2
In III) prüfen => 0=0, also ist die Bedingung erfüllt.
Nun kann man r2=2 wählen, dann ist r1=-3.
Also folgt nicht dass sowohl r1 als auch r2 0 sein müssen.
Zu deiner Aufgabe:
1. Die Gerade durch A und B hat als Richtungsvektor:
B-A=(10/3/8)-(2/1/0)=(8/2/8).
A liegt auf der Geraden. Also ist die Gerade definiert durch (x sei Vektor im R^3, r1 sei reele Zahl):
g: x=A+(r1)*(B-A)
also
g: x=(2/1/0)+(r1)*(8/2/8)
Genauso stellst du die Gerade durch C und D auf:
h: x=C+(r2)*(C-D)
also
h: x=(8/5/6)+(r2)*[(8/5/6)-(4/3/2)]
also
h: x=(8/5/6)+(r2)*(4/2/4).
(Dann siehst du z.B. auch, dass (4/2/4) und (8/2/8) linear unabhängig sind, denn 2 Komponente ist gleich, die anderen verschieden !)
Weiter ist es egal, ob du C-D oder D-C als Richtungsvektor benützt, denn diese sind ja linear abhängig voneinander.
Um den Schnittpunkt zu erhalten, machst du folgendes:
g: x=(2/1/0)+(r1)*(8/2/8)
h: x=(8/5/6)+(r2)*(4/2/4).
sind deine beiden Geraden.
An dem Schnittpunkt sind die x-Werte ( x ist hier der Vektor-Funktionswert der Geraden) gleich.
Also setzt du:
(8/5/6)+r2*(4/2/4)=(2/1/0)+(r1)*(8/2/8)
Diese Gleichung liest du nun Zeilenweise als:
I) 8+4*(r2)=2+8*(r1)
II) 5+2*(r2)=1+2*(r1)
III) 6+4*(r2)=0+8*(r1)
Dann ist
I) 8*(r1)-4*(r2)-6=0
II) 2*(r1)-2*(r2)-4=0
III) 8*(r1)-4*(r2)-6=0
I und III sind identisch.
Nun berechnest du r2 folgendermaßen:
I-2*II)
8*(r1)-2*2*(r1)-4*(r2)-2*(-2*(r2))-6-2*(-4)=0
<=>
4*(r1)+2=0
<=>
4*(r1)=-2
<=>
r1=-(1/2)
Da du nun r1 hast, musst du dies auch in die Gerade einsetzen, die r1 als Variable hat, also in g:
Dann ist der Schnittpunkt s:
s=(2/1/0)+(-[1/2])*(8/2/8)=(2/1/0)+(-4/-1/-4)
=(-2/0/-4)
Die Gleichung der Diagonalen stellst du folgendermassen auf:
d: x=B+(r3)* (D-B)
Der Rest geht analog.
Ist mir nun zu viel zu Rechnen. Musst halt auch mal selber ein bisschen Zeit investieren !
Bei weiteren Problemen kannst du ja nochmals nachfragen, wenn ich Zeit habe, antworte ich dir dann.
PS:
Solltest du mal beim Ausrechnen des Schgnittpunktes nach der Verknüpfung aller 3 Gleichungen 0=0 erhalten, so liegen die Geraden aufeinander, dass heisst, sie sind identisch.
Kommt ein Widerspruch ( z.B. 0=2) raus, so gibt es keinen Schnittpunkt. Sind dann noch die Richtungsvektoren linear abhängig, so sind die Geraden parallel, andernfalls windschief.
GRÜSSE
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 20:30: |
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Achso, wenn bei den obigen Richtungsvektoren aus der Gleichung herausgekommen wäre (NICHT BEI DEN GERADEN; BEI MEINEM BEISPIEL !!!) dass sowohl r1 als auch r2 0 sein müssen, so wären die Richtungsvektoren linear UNABHÄNGIG. Im obigen Fall sind sie linear ABHÄNGIG !!!
GRÜSSE
STEVENERKEL |
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