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Hansiputzilie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 15:50: | 
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kx^4-(k+1)x^2
a)Best. sie die punkte mit waagerechten tangenten am Graphen!
b)Zeigen sie,daß sich alle kurven dieser Schar genau für x=0,x=1 und x=-1 schneiden.
c)Berechnen sie für k größer 0 die Fläche,die die Graphen der Schar mit der x-Achse einschließen.
d)Für welches k größer 0 wird die eingeschlossene Fläche mit der x-Achse minimal? |
45Doris
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 19:26: |
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Hallo Hansiputzilie, es gibt auch noch andere nichtssagende Überschriften:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/41422.html?1015271892 |
hansiputz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. März, 2002 - 21:10: |
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Vielen dank für den tollen beitrag! |
spisak (Spisak)
Junior Mitglied
Benutzername: Spisak
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 14:17: |
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Hi, du musst ubgefähr so vorgehen:
a.) Punkte mit waagrechter Tangente bedeutet
f´(x)=0( d.h. die Steigung in diesem Pkt.=0)
f´(x)= 4kx^3-2(k+1)x
f´´(x)= 12kx^2-2(k+1)
setze f´(x)=0
dann erhält man x(1)=0; x(2)=wurzel((k+1)/2k)
x(3)= -wurzel((k+1)/2k)
Prüfe, ob es sich um Hoch-, Tiefpkte handelt:
f``(0)= -2(k+1) <0,> -1 ->HP(0,0)
und >0, für k<-1>TP(0;0)
f´´(wurzel((k+1)/2k))= f´´(-wurzel((k+1)/2k))
= 4(k+1) <0, für k< -1 HP
und <0,> -1 ->TP
einfach noch die y-Koordinate der Punkte ausrechnen.
Also gibt es insg. 3 Pkte mit waagrechter Tangente
b.) seien k und m beliebige Werte:
kx^4-(k+1)x^2=mx^4-(m+1)x^2
<=> kx^4-(k+1)x^2-mx^4+(m+1)x^2=0
<=> x^2(kx^2-(k+1)-mx^2+(m+1))=0-> x(4)=0
-> kx^2-mx^2= k-m
<=>x^2(k-m)k-l
<=>x^2=1 ->x(5)=1; x(6)=-1
Also schneiden sich alle Graphen in den Punkten
x(4), x(5), x(6).
c.) erstmal Nullstellen berechnen:
setze f(x)=0
kx^4-(k+1)x^2=0
-> x(7)=0; x(8)= wurzel((k+1)/k);
x(9)=-wurzel((k+1)/k).
Grenzen: da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist kann man die Grenzen von 0 bis
wurzel((k+1)/k) wählen und das ganze Integral mit 2 multiplizieren.
Fläche A(alles im Betrag)= 2*int.(kx^4-(k+1)x^2=
2*[(k/5)x^5-((k+1)/3)x^3]= nach einsetzen der Grenzen =4/15*(k+1)*((k+1)/k)^(3/2)
Davon muss man nun die Ableitung bilden, da nach dem minimalen Flächeninhalt(Extremum) gefragt wird, also
A´(k)= mit Produktregel=
(4/15)*((k+1)/k)^(3/2)+(4/15)*(k+1)*(3/2)
*((k+1)/k)^(1/2)*((k-1)/k^2)=...
..=(4/15)((k+1)/k)^(1/2)*[((k+1)^2/k^2)+(3/2)*
((k^2-1)/k^2)]
und dies muss man nun=0 setzen(Extremumsbedingung)
also; das ganze Teil wird =0, wenn in der eckigen Klammer der Nenner=0 wird:
2(k+1)^2+3(k^2-1)=0
-> k(1)=1/5; k(2)= -1
nun müsste man noch die 2.Ableitung prüfen, welches der beiden das Minimum ist. Dies spar ich mir jedoch, da >0 angenommen wird und somit vieles für 1/5 als Lösung spricht. Besser is aber nochmal nachrechnen! Sieht zwar ziemlich wüst aus das ganze, vielleicht hab ich mich ja auch verrechnet( also nochmal nachrechnen), aber am Ende kommt ja was ganz angenehmes raus.
mfg spisak |
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