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Marian (Marian)
Neues Mitglied
Benutzername: Marian
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 15:28: | 
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Hallo ihr lieben Helfer in der Not,
ich bitte um Hilfe, zumindest ansatzweise, bei folgenden Aufgaben:
Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)=t-(4/x²); t>0
a) Die Tangente durch den Graphenpunkt P(u/v), u>0, die y-Achse und die Asymptote umranden ein rechtwinkliges Dreieck. Wie muss u gewählt werden, damit dieses Dreieck den Flächeninhalt 6 annimmt?
b) Das Dreieck aus e) rotiere um die y-Achse, so dass ein Kegel entsteht. Zeigen sie, dass das Volumen dieses Kegels unabhängig von der Wahl des Dreieckspunktes P(u/v) ist.
g) P(u/v), u>0, sei wieder ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von ft. Durch P werden Parallelen zur x-und y-Achse gezogen. Diese Parallelen bilden zusammen mit der y-Achse und der Asymptote ein Rechteck. Dieses Rechteck rotiere um die y-Achse. Zeigen sie, dass das Volumen aller entstehenden Rotationszylinder gleich ist! Wie muss u gewählt werden, damit die Oberfläche des Zylinders minimal wird?
Ich hoffe wirklich, ich habe keinen verschreckt mit dieser Aufgabe, nur ist es leider so, dass ich keinerlei Idee habe, wie ich diese Monsteraufgaben anpacken muss. Ich wäre auch für einen Ansatz zu jeder Teilaufgabe schon sehr dankbar. BITTE HELFT MIR! |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 20:28: |
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Hallo Miriam
weiter geht's.
a) Berührpunkt der Tangente ist P(u|v) mit
v=f(u)=t-(4/u²)
Die Steigung der Tangente ist die 1. Ableitung in P; also
f'(x)=8/x³ => f'(u)=8/u³
Steigung und Punkt in die allgemeine Geradengleichung y=mx+b einsetzen;
t-(4/u²)=(8/u³)*u+b
<=> b=t-(4/u²)-(8/u³)*u=t-(4/u²)-(8/u²)=t-(12/u²)
=> y=(8/u³)x+t-(12/u²) ist die Gleichung der Tangente
Die Tangente schneidet die Asymptote y=t in x=3u/2
(erhälst du durch Gleichsetzen von Tangenten und Asymptotengleichung)
Diesen Schnittpunkt nenne ich A(3u/2|t).
Den Schnittpunkt der Asymptote mit der y-Axhse nenne ich B(0|t) und den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse nenne ich C(0|t-12/u²)
Der rechte Winkel ist bei B; d.h. die Strecken AB und BC sind die Katheten.
Damit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC
A(u)=(1/2)*(12/u²)*(3u/2)=9/u
Da A(u)=6 nach Voraussetzung; folgt
9/u=6 <=> u=3/2
b) V=(1/3)*pi*r²*h
r=AB=(3u/2) und h=BC=12/u²
=> V(u)=(1/3)*pi*(3u/2)²*(12/u²)
V(u)=(1/3)*pi*(9u²/4)*(12/u²)=9*pi
und damit unabhängig vom Punkt P(u|v)
g) Zylinder hat den Radius r=u und die Höhe h=t-v
=> V=pi*r²*h=pi*u²*(t-v)
mit v=t-(4/u²) folgt
V=pi*u²*(t-(t-(4/u²)))
=pi*u²*(4/u²)=4pi
=> alle so entstehenden Zylinder haben das Volumen V=4*pi
O=2*pi*r²+2*pi*r*h=2*pi*r(r+h)
=> O=2*pi*u*(u+t-(t-(4/u²)))
=> O(u)=2*pi*u*(u+(4/u²))=2*pi*(u²+4/u)
=> O'(u)=2*pi*(2u-4/u²)=0
<=> 2u-(4/u²)=0 |*u²
<=> 2u³-4=0
<=> u³=2
=> u=21/3=1,26
Muss noch mit 2. Ableitung überprüft werden.
So, das war's.
Rechne bitte alles nach.
Vielleicht hat sich ein Rechenfehler eingeschlichen,
doch das Prinzip dürfte stimmen.
Mfg K.
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Marian (Marian)
Neues Mitglied
Benutzername: Marian
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 09-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 09:33: |
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Hallo A.K.
Eine Zeile kann ich nicht nachvollziehen:
b=t-(4/u²)-(8/u³)*u=t-(4/u²)-(8/u²)=t-(12/u²)
Wird (8/u³) nicht mit u multipliziert und müsste (8/u hoch 4) heißen?
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Mike Schneider (Mikey_mike)
Mitglied
Benutzername: Mikey_mike
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. März, 2002 - 11:16: |
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Hallo Marian,
K hat schon richtig gerechnet:
(8/u³)*u = 8/u² da u³ im Nenner steht und u im Zähler.
Gruß, Mikey |
Marian (Marian)
Junior Mitglied
Benutzername: Marian
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 09-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 13:21: |
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Ich habe trotzdem noch eine kleine Frage:
Wie kommt man bei b) vom Ergebnis 9*pi auf die Schlussfolgerung, dass das Volumen unabhängig vom Punkt P(u/v) ist und genauso wie kann man bei g) wissen, dass alle so entstehenden Zylinder das Volumen 4*pi haben! Kann mir das bitte noch mal jemand erläutern? DANKE! |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. März, 2002 - 20:41: |
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Hallo Mirian
V(u) und O(u) wurden mit u und v berechnet.
Da sich v durch u ausdrücken läßt (v=f(u)) und
man schließlich u wegkürzen kann, ist das
jeweilige Ergebnis von u und v unabhängig, und
damit auch von P unabhängig.
Mfg K. |
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