| Autor |
Beitrag |
    
Chris De Vienne
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 15:48: | 
|
Eine Ellipse in 1.Hauptlage ell:16x2+25y2=1600
besitzt den Brennpunkt F(6/0) sowie eine Tangente
t:3x-2y+34=0.
a)Ermitteln Sie die Gleichungen der beiden gemeinsamen Tangenten an die Ellipse und an
eine konvokale Parabel in 1.Hauptlage!
b) Berechnen Sie die Schnittpunkte und Winkel
der beiden Kurven.
Also, eine konvokale Parabel ist eine Parabel
die den selben Berennpunkt wie die gegebene
Ellipse hat F(6/0).
Die Parabelgleichung in 1. Hauptlage lautet,
par:y2= 2px
Von der Ellipsengleichung könnte man sich jetzt
eventuell das a2 bzw. das b2 ausrechnen, nur was
macht man damit?? Und was soll man in die Parabelgleichung einsetzten??
HILFE!!!!
Bitte schreibt mir schnell eine Lösung, wenn möglich!
DANKE!!!!
Christian |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 12:50: |
|
Hi Chris de Vienne,
Es ist eine Ehrensache, dass Deine etwas anspruchsvolle und
namentlich auch rechnerisch aufwendige Aufgabe in „zahlreich“
gelöst wird !
Vorerst soll sie aber besser formuliert werden.
Ich schlage folgenden neuen Text vor:
Gegeben wird die Gleichung einer Ellipse E:
16 x^2+25 y^2 = 1600
a) Ermittle die Halbachsen a und b sowie den auf der positiven
x-Achse liegenden Brennpunkt F der Ellipse
b) Weise nach, dass die Gerade mit der Gleichung t: 3x-2y+34=0.
eine Tangente der Ellipse ist, und berechne die Koordinaten des
Berührungspunktes T.
c) Bestimme den Parameter p der Parabel y^2 = 2 p x so, dass
der Brennpunkt der Parabel mit F zusammenfällt.
d) Berechne die Schnittpunkte und Winkel der beiden Kurven
e) Ermittle die Gleichungen der beiden gemeinsamen Tangenten
an die Ellipse und an die Parabel.
Noch ein Wort zur Schreibweise:
Haben zwei Kegelschnitte die Brennpunkte gemeinsam, so heissen sie
konfokal (nicht konvokal),fokal stammt vom lat. focus, Brennpunkt.
Vokal stammt ab von lat. vox, Stimme ; das nur nebenbei.
Nun zur Lösung Deiner Aufgabe
Empfehlung :stelle eine Zeichnung in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem her, Einheit ½ cm .
a) Schneide die Ellipse mit den Koordinatenachsen, und Du findest die
grosse Halbachse a auf der x-Achse mit a= 10 und
die kleine Halbachse b auf der y-Achse mit b = 8.
Damit rechnest Du die lineare Exzentrizität e aus , d.i. die Entfernung
des Brennpunktes F vom Mittelpunkt O der Ellipse ; dies geschieht mit
der Formel e = wurzel (a^2-b^2) = 6, also gilt F(6/0).
Wir gehen sofort zu Teilaufgabe c) über
Der Brennpunkt der Parabel y^2 = 2 p x liegt auf der positiven x-Achse
im Abstand ½ * p vom Scheitel der Parabel, der mit dem Nullpunkt
O zusammenfällt.
Wenn die Brennpunkte von Ellipse und Parabel zusammenfallen sollen, muss gelteN:
½ p= 6 oder p = 12 gelten.
Die Gleichung der gesuchten Parabel lautet somit:
y^2 = 24 * x.
°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 15:53: |
|
Hi Chris de Vienne ,
Lösung der Teilaufgabe d) :
Ellipse und Parabel schneiden sich in zwei Punkten S1 und S2,
welche im ersten und zweiten Quadrant liegen; dabei spielt die
x-Achse die Rolle einer Symmetrieachse.
Wir beschäftigen uns im Folgenden ausschliesslich mit dem
Schnittpunkt S1 = S im erste Quadrant
Zuerst berechen wir die Koordinaten xS , yS von S.
Setze y^2 aus der Parabelgleichung in die Ellipsengleichung ein
Für xS entsteht nach einer Vereinfachung die quadratische Gleichung
2 x^2 + 75 x – 200 = 0 mit der einzigen tauglichen Lösung
x= xS = 5/2. Der zugehörige y-Wert yS ist ;
yS = wurzel(60) = 2*wurzel(15).
Nun berechnen wir die Steigung m1 der Ellipsentangente und
die Steigung m2 der Parabeltangente im Schnittpunkt S, indem wir der
Reihe nach die Kurvengleichungen implizit nach x ableiten.
Ableitung beider Seiten der Ellipsengleichung 16 x^2+25 y^2 = 1600
nach x gibt:
32 x + 50 y * y ´= 0 , daraus Ableitung y´= - 16 x / (25 y)
Im Punkt S mit xS = 5/2 und yS = 2*wurzel(15) erhalten wir daraus
für die Steigung m1 der Ellipsentangente:
m1 = - 4 / [5 * wurzel (15)]
Ableitung beider Seiten der Parabelgleichung y^2 = 24 x
nach x gibt:
2 y * y ´= 24 , daraus Ableitung y´= 12 / y
Im Punkt S mit xS = 5/2 und yS = 2*wurzel(15) erhalten wir daraus
für die Steigung m2 der Parabeltangente:
m2 = 6 / [wurzel (15)].
Der Schnittwinkel phi der beiden Kurven im Punkt S ergibt sich nach der Formel
tan(phi) = [m2 – m1] / [ 1 + m1*m2]
Wir erhalten
tan(phi) = 2*wurzel (15) / 3 ~ 2,582 ; daraus
phi ~ 68,83 °
°°°°°°°°°°°°°
Zur Vorbereitung der Schlussaufgabe e) lösen wir zuerst die Teilaufgabe b)
Eine Tangente der Ellipse 16 x^2+25 y^2 = 1600 mit dem Punkt T(x1/y1 )
als Berührungspunkt hat die Gleichung
16 x1*x + 25 y1* y = 1600 ; soll diese Gerade mit der gegebenen Gerade t:
3 * x - 2 * y = -34
übereinstimmen, muss die Proportion
16 * x1 / 3 = 25 * y1 / -2 = 1600 / - 34 erfüllt ist
Wir berechnen daraus x1 = - 150 / 17 und y 1 = 64 / 17.
Wie man leicht nachrechnet, liegt der Punkt T(x1/y1) auf der
gegebenen Ellipse, somit ist t wirklich eine Tangente von E ,w.z.z.w.
Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath.
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 17:58: |
|
Hi Chris de Vienne,
Schlussaufgabe e)
Es geht darum, eine gemeinsame Tangente t beider Kurven zu ermitteln.
t berühre die Ellipse im Punkt P1(x1/y1) und die Parabel im Punkt P2(x2/y2).
Es liegen somit vier Unbekannte x1,y1,x2,y2 vor !
Eine Tangente der Ellipse 16 x^2+25 y^2 = 1600 mit dem Punkt P1(x1/y1)
als Berührungspunkt hat die Gleichung
16 x1*x + 25 y1* y = 1600……………………………………………………………………………..(1)
Eine Tangente der Parabel y^2 = 2 p x mit dem Punkt P2(x2/y2)
als Berührungspunkt hat die Gleichung
y2* y = p * ( x + x2) ; in unserem Fall also
y2* y = 12 * ( x + x2) oder
12 x – y2 y = - 12 x2………………………………………………………………………………………..(2)
Sollen nun die Geraden mit den Gleichungen (1) und (2) zusammenfallen,
also identisch sein, so muss die Proportion
16*x1/12 =25 y1/-y2 = 1600/(-12 x2)…………………………………………………………….(3)
erfüllt sein.
Zunächst erhalten wir die bemerkenswerte Beziehung
x1 * x2 = - 100................................................................................……(I)
dann folgt aus der Gleichung y2^2 = 24 x2 (P2 liegt auf der Parabel !)
zunächst x2 = y2^2/24,dann mit (3)
25 y1 / y2 = 1600 /( ½ * y2^2), daraus ergibt sich schliesslich eine
zweite bemerkenswerte Formel :
y1 * y2 = 128.......................................................................................(II)
Nochmals:der Punkt P2(x2/y2) liegt auf der Parabel, somit
y2^2= 24 *x2 , daraus x2 =y2^2/ 24,eingsetzt in (I) gibt :
x1*y2^2 = - 2400.
Mit y2 = 128/y1 aus(II) kommt damit:
x1 = - 2400 y1^2/128^2 = -75/512 y1^2.
Daraus 25 y1^2 = - 512/3 * x1.
Dies setzen wir in die Gleichung 16 x1^2+25 y1^2 = 1600 eiin
(beachte, dass der Punkt P1 auf der Ellipse liegt !)
Für x1 erhalten wir schliesslich die quadratische Gleichung
3 * x1 ^ 2 – 32 * x1 – 300 = 0 mit der einzigen tauglichen Lösung
x1 = - 6 (BRAVO !)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Nun löst sich alles in Minne auf !
Mit (I) erhalten wir
x2 = 50/3,
°°°°°°°°°°
mit y2^2 = 24* x2 = 400 kommt
y2 = 20
°°°°°°°
und mit (II) schliesslich
y1 = 32/5
°°°°°°°°°
Finis comoediae
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 14:18: |
|
Hi ,
Definitiver Abschluss der Teilaufgabe e):
Gleichung einer gemeinsamen Tangente t von Ellipse und Parabel.
t wird bestimmt durch die Punkte P1 mit x1 = - 6 , y1 = 32/5
und P2 mit x2 = 50/3, y2 = 20,
Daraus berechnen wir die Steigung m von t:
m = (y2-y1) / (x2-x1) = 3/5
Ansatz für eine Gleichung von t : y = 3 / 5 * x + q , t geht durch P1;
dies erfordert q = 10, somit kommt als Gleichung für die
gemeinsame Tangente: y = 3 /5 * x + 10
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Beziehungen (I) und (II) sind Sonderfälle !
allgemein gültiger Relation, welche für eine gemeinsame Tangente t einer
Ellipse b^2 x^2 +a^2 y ^2 = a^2 * b^2 und einer Parabel
y^2 = 4* e x gilt (dabei ist e nicht notwendigerweise die lineare
Exzentrizität der Ellipse):
t berühre die Ellipse im Punkt P1(x1/y1) und die Parabel im Punkt P2(x2/y2).
Dann gelten die Relationen:
x1 * x2 = - a^2................................................................................………..(I)
y1 * y2 = 2* b^2......................................................................................(II)
Herleitung
Eine Tangente der Ellipse b^2* x^2+a^2* y^2 = a^2*b^2 mit dem Punkt
P1(x1/y1) als Berührungspunkt hat die Gleichung
b^2 * x1*x + a^2* y1* y = a ^2*b^2………………………………………………………………..(1)
Eine Tangente der Parabel y^2 = 4*e*x mit dem Punkt P2(x2/y2)
als Berührungspunkt hat die Gleichung
y2* y = 2*e*( x + x2) oder
2*e*x – y2 * y = - 2*e* x2……………………………………………………………………………………(2)
Sollen nun die Geraden mit den Gleichungen (1) und (2) zusammenfallen,
also identisch sein, so muss die Proportion
b^2*x1/ (2*e) = - a^2 * y1 / y2 = - a^2*b^2 / (2*e*x2)…..………………………… (3)
erfüllt sein.
Daraus folgt unmittelbar (I).
Aus a^2*y1*2 * e * x2 = y2 * a^2 * b^2 folgt mit x2 = y2^2/(4*e)
die Relation (II).
MfG
H.R.Moser,megamath.
|
Chris De Vienne
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 14:56: |
|
A.d. Herrn Moser, alias megamath;
Falls Sie das lesen, möchte ich mich recht herzlich für ihren Beitrag zur Lösung meines Rechenbeispiels bedanken!!!!!!!
Grüße aus Wien,
Chris |
|
