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ted 18
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 23:56: | 
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Hallo!! Ich habe da mal eine gaaanz wichtige Frage. Ich verzweifle langsam.. :-(
Es gibt zwei Punkte R' und R'' auf der x3-Achse. Die Dreiecke ABR' und ABR'' sind rechtwinklig zueinander. Bestimme R' und R''.
Mit A (-6|-2|4) und B (0|6|6)
Bitte helft mir, schreibe am Montag meine VORABI-KLAUSUR!!!!
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ted^18
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 00:57: |
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shit, ich bin echt schon müd, hier die korrekte aufgabenstellung:
Es gibt zwei Punkte R' und R'' auf der x3-Achse. Die Dreiecke ABR' bzw. ABR'' haben bei R' bzw. R'' einen rechten Winkel. Bestimme R' und R''.
Mit A (-6|-2|4) und B (0|6|6)
ted |
ted 18
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 12:48: |
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hallo!!?? kann mir denn hier keiner weiterhelfen?? :-( |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 17:47: |
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Hi ted^18,
Aus Gründen der Konvenienz bezeichnen wir die drei Achsen
des Systems mit x, y, z statt mit x1 ,x2, x3 und die Koordinaten
eines Punktes P entsprechend mit x / y / z .
Es gibt zwei gängige Methoden zur Lösung des Problems
1.Methode : Thaleskugel.
Die Strecke AB ist Durchmesser einer Kugel k, wobei die Länge
der Strecke AB, also der Betrag des Verbindungsvektors v
der Punkte A und B, mit dem Durchmesser d = 2 r der Kugel übereinstimmt :
abs (v) = 2* r ; der Mittelpunkt M der Strecke AB ist der Mittelpunkt der Kugel.
Verbindet man einen beliebigen Punkt P der Kugel k mit den festen Punkten
A und B, so entsteht ein Dreieck APB, das (nach Thales) bei der Ecke P
rechtwinklig ist.
Die in der Aufgabe zu ermittelnden Punkte R1,R2 ergeben sich somit als
Durchstosspunkte (Schnittpunkte) der z-Achse mit der Kugel k.
Rechnerische Durchführung:
Vektor v = AB = {6;8;2} = 2* {3;4;1}
absoluter Betrag von v = 2* wurzel (3^2+4^2+1^2)= 2*wurzel (26); daraus
Kugelradius r = wurzel (26);
Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB:
xM = ½*(-6+0) = -3, yM = ½*(-2+6) = 2 , zM = ½*(4 + 6 ) = 5 , somit
Gleichung der Kugel k:
(x +3) ^ 2 + (y – 2 ) ^ 2 + (z –5 ) ^ 2 = 26
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Schnitt von k mit der z-Achse (setze in der Kugelgleichung x = y = 0 ein !
Wir finden:
9 + 4 + (z - 5) ^ 2 = 26 oder (z-5) ^ 2 = 26 ,daraus:
z – 5 = (+/-) wurzel (26) oder
z1 = 5 + wurzel (26) , z 2 = 5 - wurzel (26)
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2.Methode: mit Skalarprodukt
R sei ein zunächst beliebiger Punkt der z-Achse;
Ansatz für R : R ( 0 / 0 / w ) ;
der Parameter w ist nun so zu bestimmen, dass die Vektoren
a = AR und b = BR aufeinander senkrecht stehen.
Dies erreichen wir dadurch , dass wir das Skalarprodukt s = a.b
dieser Vektoren null setzen.
Ausführung.
a = {6;2;w-4}, b = {0;-6;w-6}
s = a.b = 0 –12 + w^2 –10 w + 24 = 0
Es entsteht eine quadratische Gleichung für w, nämlich:
w ^ 2 – 10 w + 12 = 0 mit den Lösungen
w1 = 5 + wurzel (26) für R1 ,
w 2 = 5 - wurzel (26) für R2
wie oben !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 20:44: |
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Hi Ted,
Es hat sich bei den angegebenen Resultaten in meinem Beitrag
leider ein Schreibfehler eingenistet :
Es muss bei
z1 = 5 + wurzel (26) , z 2 = 5 - wurzel (26) statt wurzel(26)
richtigerweise wurzel(13) heissen !
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dasselbe gilt natürlich auch bei
w1 = 5 + wurzel (26) für R1 und w 2 = 5 - wurzel (26) für R2
Viel Troubles mit der Glückszahl 13 !
MfG
H.R.Moser,megamath
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ted 18
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 21:28: |
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WOW!! VIELENVIELEN DANK!!!
*freu* :-) jetzt kann ich einigermaßen beruhigt die vorabiklausur schreiben!! Da werde ich dann aber die 2Methode favorisieren ;-) geht ja ´n bizzl schneller!! Also nochmals viel herzlichen Dank!!
..hm komisch, dass ich auf die 1.Methode nicht allein gekommen bin *grinz*
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