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Beitrag |
    
Jenny Jones
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 19:00: | 
|
Bitte helft mir bei folgender Kurvendiskussion!!!
Gegeben sei die Schar ft(x)=(3t)/(t+e^x),t>0
Kt=Schaubild
a) Bearbeitet werden soll:
- Schnittpunkte mit den Achsen
- Extrempunkte
- Wendepunkte
- Asymptoten
- Ortslinie aller Wendepunkte
b) Zeigen Sie, dass K4 ganz oberhalb von K1 liegt. K1 und K4 schneiden aus jeder Geraden x=u eine Strecke der Länge d aus. Bestimmen Sie u so, dass d möglichst groß wird.
c) Für a>0 umschließt die Kurve Kt mit den Geraden x=a und x=-a und y=3 eine Fläche mit dem Inhalt At(a). Bestimmen Sie At(a).
Untersuchen Sie, unter Verwendung des obrigen Ergebnisses, ob die zwischen K1 und K4 liegende Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat.
Wer mir das erläutern kann, ist wirklich ein guter Mathematiker. |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 10:15: |
|
Hallo Jenny
f(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
Hoffe, das stimmt so alles.
Bitte nachrechnen.
Mfg K. |
Murphy (Murphy)
Neues Mitglied
Benutzername: Murphy
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 00:30: |
|
Bist Du es, Fredy?
Mit unseren neuen Namen ist das so eine Sache. Ich finde die "Verbesserung" des Mathe-Boards ganz schlimm und bin sehr demotiviert.
Gruß A. |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 11:10: |
|
Hallo Murphy
ich bin nicht Fredy, bin K.
Benutzername K. wird nicht mehr akzeptiert, also nun A.K.
Nehme an, du bist Allmut, stimmt's?
Bin wie du über die Veränderungen leicht frustriert.
Mfg K. |
lizzy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 19:37: |
|
Brauch dringend Hilfe!Gegeben sei a/2[(e^(x/a))+(e^-x/a))],auch Kettenlinie genannt.Brauche 1.-3. Ableitung;Beweis a=kürzester Abstand zur x-Achse;Beweis F(x)=1/k*e^(kx)Stammfunktion von f(x)=e^(kx) |
LotteJJ
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 19:49: |
|
Hallo lizzy
bitte öffne einen neuen Beitrag anstatt deine Frage an andere anzuhängen! |
K..-
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 19:51: |
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Bitte helft mir bei folgender Kurvendiskussion!!!
Gegeben sei die Schar ft(x)=(3t)/(t+e^x),t>0
Kt=Schaubild
a) Bearbeitet werden soll:
- Schnittpunkte mit den Achsen
- Extrempunkte
- Wendepunkte
- Asymptoten
- Ortslinie aller Wendepunkte
b) Zeigen Sie, dass K4 ganz oberhalb von K1 liegt. K1 und K4 schneiden aus jeder Geraden x=u eine Strecke der Länge d aus. Bestimmen Sie u so, dass d möglichst groß wird.
c) Für a>0 umschließt die Kurve Kt mit den Geraden x=a und x=-a und y=3 eine Fläche mit dem Inhalt At(a). Bestimmen Sie At(a).
Untersuchen Sie, unter Verwendung des obrigen Ergebnisses, ob die zwischen K1 und K4 liegende Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat.
Wer mir das erläutern kann, ist wirklich ein guter |
J.--
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 19:52: |
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(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
|
lizzy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 19:57: |
|
 so fühl ich mich jetzt! so oder so ,wenn ich die Lösung hierzu bekomme!
gegeben:a/2)*[(e^(x/a))+(e^(-x/a))]
gesucht:Steigungswinkel von t(x) an f(4)mit x=2 |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 08:54: |
|
Hallo Lizzy
f(x)=(a/2)*(ex/a+e-x/a)
f'(x)=(a/2)*((1/a)ex/a-(1/a)e-x/a)=(1/2)*(ex/a-e-x/a)
f"(x)=(1/2)*((1/a)ex/a+(1/a)e-x/a)=(1/(2a))*(ee/a+e-x/a)
f"'(x)=(1/(2a))*((1/a)ex/a-(1/a)e-x/a)=(1/(2a²))*(ex/a-e-x/a)
Beweis: a=kürzester Abstand zur x-Achse
Sei P(u|f(u)) ein Punkt auf der Kurve. Dann ist der Abstand des Punktes P von der x-Achse die y-Koordinate des Punktes;
also f(u)=(a/2)(eu/a+e-u/a)
=> f'(u)=(1/2)(eu/a-e-u/a)=0
<=> eu/a-e-u/a=0
<=> eu/a=e-u/a
<=> u/a=-u/a
<=> 2u/a=0
<=> u=0
=> f(0)=(a/2)*(e0/a+e-0/a)=(a/2)*(e0+e0)=(a/2)*(1+1)=2a/2=a
ist der kleinste Abstand.
Beweis: F(x)=(1/k)*ekx ist Stammfunktion von f(x)=ekx
Gilt wegen
F'(x)=(1/k)*k*ekx=ekx=f(x)
Steigungswinkel von t(x) an f4 mit x=2
f4(x)=2(ex/4+e-x/4)
f4'(x)=(1/2)*(ex/4-e-x/4)
=> f4(2)=(1/2)*(e2/4-e-2/4)
=(1/2)*(e1/2-e-1/2)
=(e-1)/(2Öe)=0,521=m
Wegen m=tana => a=27,52°
Mfg K.
|
O..
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 12:10: |
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(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
|
O..
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 12:10: |
|
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
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O..
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 12:15: |
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(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) ausrechnen
Ableitungen:
f'(x)=-3tex/(t+ex)²
f"(x)=[3tex(ex-t)]/(t+ex)³
Extrema: f'(x)=0 setzen und nach x auflösen
(keine Extrema)
Wendepunkte: f"(x)=0 setzen und nach x auflösen
=> x=ln(t)
muss noch mit 3. Ableitung geprüft werden
Asymptoten:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[3t/(t+ex)]=0
da ex->+oo und damit der Nenner gegen +oo geht,
geht f(x)->0
und
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)[3t/(t+ex)]
hier geht ex->0 und der Nenner gege t; also
lim(x->-oo)f(x)=3t/t=3
Damit sind y=0 und y=3 waagerechte Asymptoten
Ortslinie der Wendepunkte:
x-Wert der Wendepunkte ist ln(t)
zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln; also
f(lnt)=3t/(t+elnt)=3t/(t+t)=3t/2t=3/2
=> W(lnt|3/2)
=> Ortskurve ist y=3/2
b) K4 und K1 bestimmen; also
K4: f4(x)=12/(4+ex)
K1: f1(x)=3/(1+ex)
z.z. für jedes xo€R gilt f4(xo)>f1(xo)
also
12/(4+exo>3/(1+exo)
<=> 12/(4+exo)>12/(4+4exo)
<=> 4+4exo>4+exo
<=> 4exo>exo
<=> 3exo>0 wahr, da ex>0 für alle x.
Schnittpunkte von K4 und K1 mit x=u sind
f4(u)=12/(4+eu) und f1(u)=3/(1+eu)
=> d=f4(u)-f1(u)=9eu/[(4+eu)(1+eu)]
=> d'(u)=[9eu(4-(eu)²)]/[(4+eu)²(1+eu)²]=0
<=> 9eu(4-(eu)²)=0
=> (eu)²=4
=> eu=2 (da negativer Wert nicht möglich)
=> u=ln2=0,693
At(a)=ò-a a(3-(3t/(t+ex)))dx
=ò-a a(3ex/(t+ex))dx
=3*ò-a a(ex/(t+ex))dx
=3*|ln(t+ex)|a-a
=3*|ln(t+ea)-ln(t+e-a)|
=3*|ln[(t+ea)/(t+e-a)]|
Die Fläche zwischen K4 und K1 im Intervall[-a;a] ergibt sich aus der Differenz von
A1(a)-A4(a)=3*ln[(1+ea)/(1+e-a)]-3ln[(4+ea)/(4+e-a)]
=3*ln[[(1+ea)(4+e-a)]/[(1+e-a)(4+ea)]]
Durch weiteres Umformen erhält man schließlich
A1(a)-A4(a)=3*ln[[(5/ea)+4+(1/e2a)]/[(5/ea)+(4/e2a)+1]]
=> lim(a->oo)(A1(a)-A4(a))=3*ln4=4,15
(x)=3t/(t+ex)
a) Schnittpunkte mit x-Achse = Nullstellen
f(x)=0 setzen und nach x auflösen
(Ergebnis: keine Nullstellen)
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