| Autor |
Beitrag |
    
Tine2904 (Tine2904)
Neues Mitglied
Benutzername: Tine2904
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 16:49: | 
|
Hallo,
hoffe mir kann jemand helfen. Wie ist die Lösung für folgende Gleichung:
f(x)=(x^2-p^2)*(x-p)^2
Vielen Dank im Voraus!
Tine |
spisak
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 20:21: |
|
Hi Tine, ich versuch mal mein Glück. Also: am besten setzt du für p erstmal ein paar Werte ein z.B. 0; 1, damit du mal einen ungefähren Überblick über den Verlauf des Graphen bekommst. Dann kannst du anfangen zu rechnen ( bitte nachrechnen, da auch ich Fehler machen kann):
1.) Nullstellen: setze f(x)=0. Dann kann man sofort sehen, dass für x=p als auch für x=-p eine der Klammern =0 ergibt und somit das ganze Produkt =0 ist. Mittels dieser zwei Werte und Polynomdivision ergibt sich dann, dass keine weiteren Nullstellen existieren. Also N(1)=(p,0);
N(2)=(-p,0)
2.) Extremas:
mann kann bei der Funktion f(x)die Klammern auflösen und erhält dann
f(x)= x^4-2px^3+2p^3x-p^4
nun kann man jeden Term der Reihe nach ableiten:
f´(x)= 4x^3-6px^2+2p^3
f´´(x)= 12x^2-12px
f´´´(x)= 24x-12p
Nun die Extremstellen: (Hoch-,Tiefpunkte)
setze f´(0)=0:
4x^3-6px^2+2p^3=0
kann man auch schreiben als
(x-p)*(2x(x-p)+(2x^2-2p^2))=0
eine Lsg. ist wieder x=p, x(3)=p
Mit Polynomdivision ergibt sich:
(4x^3-6px^2+2p^3): (x-p) =4x^2-2px-2p^2
Auf die rechte Seite die p-q-Formel angewandt erhält man x(4)=p und x(5)=-p/2
Also, E(3)=(p,0), E(4)=(-p/2;-15p^4/16)
Dies sind die Extremas. Nun untersuchen wir, ob es sich um Hoch-,oder Tiefpunkte handelt:
f´´(p)= 0
f´´(-p/2)= 9p^2 >0 für alle p, also liegt ein Tiefpunkt vor.
3.) Wendepunkt:
setze f´´(x)=0
12x^2-12px=0
<=> 12x(x-p) =0 , also x(6)=0 und x(7)=p
--> W(5)=(0;-p^4), W(6)=(p;0)
Hoffe das reicht dir für die Lösung.
|
|
