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Beitrag |
    
Steffi33
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 12:39: | 
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Hi, wer kann mir helfen?
Aus einem zylindrischen Stamm von vorgegebenen Durchmesser d soll ein Balken mit größter Tragfähigkeit T geschnitten werden.
Ist x die Breite des Balkens und y dessen Höhe so gilt
T = k . x . y hoch 2 (k ist eine positive Materialkonstante)
1. Berechne x und y so daß die Tragfähigkeit maximal wird
2. Berechne für diesen Fall das Verhältnis HÖhe zu Breite y : x
Danke Steffi |
Steffi333
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 06:09: |
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Hilfe |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 08:36: |
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Hallo Steffi
der Querschnitt des gesuchten Balkens ist ein Rechteck mit den Seitenlängen x und y und der Diagonalen d.
d entspricht dabei dem Durchmesser des Baumstammes.
Da die Diagonale d das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, gilt mit dem
Satz des Pythagoras
d²=x²+y² <=> y²=d²-x²
1. T=k*x+y²=k*x*(d²-x²)=k*(d²x-x³)
Nun die 1. Ableitung bilden und gleich 0 setzen:
=> T'=k*(d²-3x²)=0 |:k
<=> d²-3x²=0 |+3x²
<=> 3x²=d² |:3
<=> x²=d²/3 |Wurzel ziehen
=> x=±d/wurzel(3)
Da negative Wert kann vernachlässigt werden, da es sich um eine Länge handelt; also folgt
x=d/wurzel(3)
=> y²=d²-x²=d²-(d²/3)=(2/3)d²
=> y=d*wurzel(2/3)
2.
Höhe/Breite=y/x
=d*wurzel(2/3)/(d*wurzel(1/3))
=wurzel(2/3)/wurzel(1/3)
=[wurzel(2)/wurzel(3)]/[wurzel(1)/wurzel(3)]
=wurzel(2)/1
Also y : x = wurzel(2) : 1
Mfg K. |
Steffi333
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 12:39: |
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Vielen Dank
Schönes Wochenende noch
Steffi |
