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Beitrag |
    
Thyson
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 10:45: | 
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Hallo
Ich weiss zwar nicht ob diese Aufgabe in diesen Breich passt aber das macht ja nichts!
Aufgabe:
Gib ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen mit 2 Variablen an, bei dem sich unter den unendlich vielen Lösungen sowohl die Lösung x=1, y=2, z=-1 als auch die Lösung x=2, y=1, z=3 befindet.
Ich komme mit dieser Aufgabe überhabt nicht zurecht!!! Bitte helft mir.
Euer Thyson |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 14:23: |
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Hi Thysen,
Zunächst muss ein Schreibfehler im Text der Aufgabe korrigiert werden.
Wie schon im Titel vermerkt, geht es um zwei Gleichungen mit drei
Variablen.
Lösungsidee.
Die Punkte A(1/2/-1) und B (2/1/3) bestimmen im R3 eine Gerade g.
Jede Ebene E, welche durch g geht, hat eine lineare Gleichung in den Variablen
x,y,z Die Koordinaten von A und B befriedigen diese Gleichung,
ebenfalls die Koordinaten eines beliebigen laufenden Punktes P von g.
Wir wählen zwei solche Ebenen E1 und E2, welche durch g gehen, aus
(die Gesamtheit dieser Ebenen heisst „Ebenenbüschel mit g als Achse“),
so dass wir unendlich viele Lösungstripel des Systems mit zwei Gleichungen,
nämlich der beiden Gleichungen von E1, E2 zur Verfügung haben.
Ausführung
In der (x,y) Ebene legen wir die Gerade g´, welche durch die Punkte
A´(1/2), B´(2/1) festgelegt ist; ihre Gleichung lautet: x + y – 3 = 0,
wie man leicht nachprüft oder sogar herleitet.
Die Punkte A´,B´ sind die Projektionen der Punkte A und B auf die (x,y)-Ebene,
g´ ist die entsprechende Projektion der Geraden g.
Die Gleichung von g´ ist aber zugleich die Gleichung einer Ebene E1,welche durch A
und B geht und zur (x,y)-Ebene senkrecht steht.
Quintessenz: wir haben mit E1 eine der gesuchten Ebenen vor uns:
E1: x + y – 3 = 0
In der (y,z) Ebene legen wir die Gerade g´´, welche durch die Punkte
A´´(2 /-1),B´´(1/3) festgelegt ist; ihre Gleichung lautet: 4 y + z -7 = 0,
wie man leicht nachprüft oder sogar herleitet.
Die Punkte A´´,B´´ sind die Projektionen der Punkte A und B auf die (y,z)-Ebene,
g´´ ist die entsprechende Projektion der Geraden g.
Die Gleichung von g´´ ist aber zugleich die Gleichung einer Ebene E2,welche durch A
und B geht und zur (y,z)-Ebene senkrecht steht.
Quintessenz: wir haben mit E2 die zweite der gesuchten Ebenen vor uns;
E2 : 4 y + z -7 = 0 .
Ein System mit zwei Gleichungen, das den Anforderungen genügt, ist somit das System :
E1: x + y – 3 = 0
E2 : 4 y + z - 7 = 0 .
Zur Kontrolle stellen wir die skalare Form der Parametergleichung der Geraden
g =AB auf ; sie lautet, wie man leicht bestätigt:
x = 1 + t , y = 2 – t , z = - 1 + 4 t.
Für einen beliebigen Wert des Parameters t bekommst Du einen Punkt P auf g,
dessen Koordinaten das System (E1,E2) erfüllen.
Probe mit t = 2002:
x = 2003, y = - 2000 , z = 8007 einsetzen ins System : alles o.k.
Addieren wir die beiden Ebenengleichungen E1 und E2, so erhalten wir eine neue
Ebene F1 des Büschels, nämlich: x +5y +z –10 = 0
Subtrahieren wir die beiden Ebenengleichungen E1 und E2, so erhalten wir eine
neue Ebene F2 des Büschels, nämlich: x - 3y - z + 4 = 0,
welche zusammen mit F1 zu einem neuen System
x + 5y + z –10 = 0
x - 3y - z + 4 = 0
mit den verlangten Eigenschaften führt.
Prüfe dies nach !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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thyson
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 19:48: |
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danke du hast mir sehr geholfen!! vielen dank
thyson |
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