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Beitrag |
    
Julian_Hinrich
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Februar, 2002 - 15:50: | 
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Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Ich muss die Formel zur Berechnung vom Volumen eines Rotationskörpers herleiten [um die x-achse]
V=pi* int[f(x)^2]dx
Mein Problem liegt jedoch nicht im Verständnis. Mir ist klar, dass es genauso funktioniert wie bei der Herleitung der Formel für den Flächeninhalt, nur das die Rechtecke, deren Anzahl idealerweise gegen unendlich gehen, durch eben die Scheiben ersetzt.
Mein Problem liegt darin, dies mathematisch zu zeigen, also wie eine Formel/Funktion aufstellen, die man so umformen kann, das zu erst ein Beispiel für jeweils Untersumme und Obersumme möglich ist, deren Mittelwert man bildet um sich dem wahren Wert annähert. Mit der es aber auch möglich ist diese Ungleichung aufzustellen, welche nach Anwednung von limité "n -> unendlich" wie folgt aussieht:
Vu = Untersumme
Vo = Obersumme
V = wahrer Wert
Vu < V < Vo
Vu = Vo
=> Vu=V=Vo
Es wäre sehr nett von euch wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
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m.f.g.
Julian Hinrich |
Integralgott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 11:41: |
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Hallo Julian_Hinrich!
Du brauchst für das Volumen nicht extra einen Beweis aufzustellen, da es reicht, die Berandungsfunktion zu betrachten. Die Berandungsfunktion wird doch beim Integrieren in beliebig viele Stückchen zerlegt, unter denen die Fläche angenähert wird, daher ist auch der Drehkörper bereits in beliebig viele Teilstücke zerlegt, nur dass es sich hier dann um lauter kleine Zylinder mit Radius f(x) und Höhe "Delta x" handelt. Das Volumen eines Zylinders ist:
V = pi*r²*h
In unserem Fall also:
V = pi * f²(x) * Delta x
Beim Aufsummieren und Grenzübergang entsteht dann:
V = pi * Int[f²(x)]dx
MfG, Integralgott |
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