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Beitrag |
    
Mitch2002
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Februar, 2002 - 14:20: | 
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f (x)=xe^-kx
Bitte Sie um eine vollständige Kurvendisskusion und um die Stammfunktion der Gleichung!
Für k größer null liegen alle Hochpunkte auf einer gemeinsamen Ortslinie.Best. d. Gl. d. Ortslinie |
Jalalaba
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Februar, 2002 - 08:41: |
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Hallo Mitch, denk doch mal über eine vernünftige Überschrift nach! |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Februar, 2002 - 09:03: |
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Hallo Mitch
f(x)=xe-kx
Nullstellen: f(x)=0
<=> xe-kx=0
=> x=0 da die e-Funktion stets größer Null
Ableitungen:
f'(x)=1*e-kx+x*e-kx*(-k)=e-kx(1-kx)
f"(x)=-ke-kx(1-kx)+e-kx*(-k)=-ke-kx(2-kx)
f"'(x)=k²e-kx(2-kx)-ke-kx*(-k)=k²e-kx(3-kx)
Extrema: f'(x)=0
<=> e-kx(1-kx)=0
=> 1-kx=0 |-1
<=> -kx=-1 |: (-k)
<=> x=1/k
Mit 2. Ableitung prüfen
f"(1/k)=-ke-1(2-1)=-ke-1=-k/e
da -k/e>0 für k<0 hat die Funktion an der Stelle x=1/k ein Minimum wenn k<0
für k>0 hat die Funktion an der Stelle x=1/k ein Maximum, da dann -k/e<0
Für k=0 existiert kein Extremum.
Wendepunkte: f"(x)=0
<=> -ke-kx(2-kx)=0
=> 2-kx=0 |-2
<=> -kx=-2 |: (-k)
<=> x=2/k
Überprüfen mit 3. Ableitung
f"'(2/k)=k²e-2(3-2)=k²/e²<>0 für k<>0
Somit hat die Funktion an der Stelle x=2/k eine Wendestelle, wenn k<>0
Ortslinie der Hochpunkte:
Für k>0 hat die Funktion an der Stelle x=1/k einen Hochpunkt.
Der Funktionswert des Hochpunktes ist:
f(1/k)=(1/k)*e-1=1/(k*e)
Also lauten die Koordinaten der Hochpunkte:
H((1/k)|1/(ke))
=> f(x)=(1/e)*x ist die Ortslinie der Hochpunkte
Stammfunktion von f(x)=xe-kx mit partieller Integration ermitteln:
Sei u=x => u'=1
und v'=e-kx => v=-(1/k)e-kx
=> ò(xe-kx)dx
=x*(-(1/k)e-kx)-ò(1*(-(1/k)e-kx))dx
=-(1/k)*xe-kx-ò(-(1/k)e-kx)dx
=-(1/k)xe-kx+(1/k)ò(e-kx)dx
=-(1/k)xe-kx+(1/k)*(-1/k)e-kx
=-(1/k)xe-kx-(1/k²)e-kx
=-(1/k)e-kx(x+(1/k))
Mfg K.
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