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Martin Jonas (Jonas)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juli, 2000 - 21:32: | 
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Hallo,
auch bei diesem folgenden Integral finde ich keinen Ansatz.
I = sin x * cos x * e (hoch sin²x) dx
Wer kann mir auch hier schrittweise erklären, wie man das Ding lösen kann?
Danke! |
Berta
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juli, 2000 - 23:10: |
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Wenn du e ^ (sin²x) ableitest, erhältst du e^(sin²x)*2*sinx*cosx, also den doppelten Wert des gegebenen Produkts. Das Integral hat die Lösung ist 1/2 * e^(sin²x).
Ich hab`s durch Probieren gefunden (bei Produkten ist eine Variante die partielle Integration, wenn du die Faktoren in die Forel einsetzt kann es sein, daß du die Lösung per Zufall erhältst) |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juli, 2000 - 21:46: |
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Hallo Martin Jonas, Hallo Berta
wir wollen die Lösung nicht dem Zufall überlassen, sondern bemühen uns um eine möglichst einfache Lösung dieses aufwendigeren Integrals:
Zunächst substituieren wir sin(x)=u, und zwar das sin(x) in der Potenz. Auf beiden Seiten differenziert ergibt das
cos(x) * dx = du
also ist
dx= 1/cos(x) * du
In unserem "neuen" Integral kürzt sich praktischerweise das cos(x) heraus und wir erhalten:
I = ò sin(x) * eu2 du
Was uns jetzt noch ein wenig "stört" ist der Term sin(x) kurz hinter dem Integralzeichen, denn es soll ja nach du und nicht nach dx integriert werden. Mit einem kleinen Trick können wir den Störenfried jedoch schnell aus unserem kunstvollen Integral hinauswerfen, dazu schauen wir uns nochmal unseren Term der Substitution an:
Es war
sin(x) = u
Mithilfe der Umkehrfunktion der Sinus-Funktion, das ist die Arcussinusfunktion, erhalten wir
x = arcsin(u)
Erfahrungsgemäß haben die Schüler immer genau hier Probleme. Sollte das der Fall sein, bitte nocheinmal hier nachfragen oder ein gutes ANALYSIS-Buch konsultieren.
Wenn wir unseren gerade gefundenen Term für x einsetzen erhalten wir
I = ò sin(arcsin(u)) * eu2 du
und weil sin(arcsin(u)) = u (*) ist, folgt
I = ò u * eu2 du
Dieses Integral läßt sich jetzt mit einer einfachen Substitution, nämlich u2 = z, lösen.
Diesen kleine Rest überlasse ich Euch, ihr erhaltet dann für dieses letzte Integral dann
1
- * eu2 und wenn man wieder rücksub-
2
stituiert dann das von Berta schon angegebene Integral
1
- * esin2(x) = I
2
----------------------------------
Zu *:
Es gilt folgender Satz:
Der Verkettung f ° f-1 einer Funktion f (hier: sin(x)) und ihrer Umkehrfunktion f-1 (hier: arcsin(x)) führt auf die identische Funktion y = x. (Probiere das an y=x2 und der Umkehrfunktion einmal aus!)
f ° f-1 liest man "f nach f-1" und das Wort "nach" ist ein zeitliches "nach", kein örtliches.
Für Frage stehe ich gerne noch bis zum 12.07.00 zur Verfügung, ich packe nämlich schon meine Koffer.
Viele Grüße und bis Bald
 Oliver
P.S.: Berta, Dein Lösungsweg ist natürlich auch vollkommen in Ordnung, er folgt aus einer tollen Überlegung. Bravo! |
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