| Autor |
Beitrag |
    
Peter
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juli, 2000 - 21:37: | 
|
Hallo zusammen,
auch wenn es schon in NRW Ferien gibt, drängen mich noch ein paar Fragen zum Thema Integralrechnung, die, so hoffe ich, noch beantwortet werden können:
Es soll die Funktion f(x)=W(x^2+a^2) integriert werden. Dazu gibt mir mein Lehrbuch die Substitution x= a sinh u vor.
1. Wie läßt sich diese Substituion erklären?
Mit den Areahyperbolicus-Funktionen bin ich schon ganz gut vertraut!
2. Unmittelbar nach der Integration mit der Substitution wird rücksubstituiert und dabei taucht der Ausdruck
cosh(arsinh(x/a)= (W(x^2+a^2)/a) auf, da
u = arsinh(x/a) ist.
Dies erinnert mich an die Arcus-Funktionen, deren Zusammenhänge, wie z.B. cos(arcsin(x)) sich einfach am Eineitskreis beweisen lassen. Für diese Sache mit der Area-Funktion fällt mir keine Idee ein, wie ich diese Beziehungen an der Einheitshyperbel x^2-y^2 = 1 beweisen kann! Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank im Voraus!
P.S.: Ich bin so frei und sage vorab, dass eine Antwort mit "Du kannst auch x = a tan u substituieren..." mir nicht weiterhilft, diesen Weg habe ich bereits beinahe durchgerechnet und er leuchtet mir ein. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 09:20: |
|
Hi Peter,
Wir lassen keine Ferienstimmung aufkommen, bevor nicht
Dein Integral nach Deinen Vorschlägen gelöst ist.
Du warst auf gutem Wege, aber ein bestimmter Kick fehlte dabei,
nämlich die Relation zwischen den Funktionen
cosinus hyperbolicus und sinus hyperbolicus.
Sie lautet : (cosh u ) ^ 2 - 1 = ( sinh u ) ^ 2 (1)
Um diese und folgende Beziehungen herzuleiten,
greifen wir auf die Definitionen zurück:
cosh u = [e ^ u + e ^ (-u) ] / 2 ; sinh u = [ e ^ u - e ^ (-u) ] / 2 (2)
Die Ableitung von sinh u nach u ist cosh u und
diejenige von cosh u nach u ist sinh u.
Im Sinne einer Vorbereitung berechnen wir das Integral
H = int [ ( cosh u ) ^ 2 * du ] mit partieller Integration:
H = sinh u * cosh u - int [ ( sinh u ) ^ 2 * du] =
= sinh u * cosh u - int [{(cosh u) ^ 2 - 1 } * du ] =
= sinh u * cosh u - H + u , also:
H = ½ * (sinh u * cosh u + u ) (3)
Bekannt ist auch die Relation zwischen
arsinh x und dem logarithmus naturalis, nämlich
arsinh x = ln [ x + wurzel (x ^ 2 + 1) ] (4)
Nun berechnen wir Dein Integral J(x) und benützen dabei die
Substitution u = arsinh ( x / a) , dies ist äquivalent zu
x = a * sinh u ; daraus ergibt sich für die Differentiale
dx und du:
dx = a * cosh u * du
J = int [ wurzel( x ^ 2 + a ^ 2 ) * dx ] =
= int [ wurzel { a^2 * (sinh u)^2 + a^2}* a * cosh u * du]
mit der Formel (1) entsteht daraus
J = a ^ 2 * int [ (cosh u) ^ 2*du] und mit Formel (3) :
J = a ^ 2 / 2 * { sinh u * cosh u + u },
macht man die Substitution rückgängig, so kommt mit
sinh u = x / a und cosh u = wurzel [1 + (sinh u)^2] , letzteres nach (1) :
nach Vereinfachungen :
J = x / 2 * wurzel ( x ^ 2 + a ^ 2 ) + a^2 /2 * arsinh (x/a) + C1,
C1 ist eine Integrationskonstante.
Mittels (4) kann das Resultat auch so geschrieben werden:
J = x / 2 * wurzel ( x ^ 2 + a ^2 ) +
a^2 /2 * ln [ x / a + {wurzel (x^2+a^2)}/ a] + C1
Anmerkung: in der letzten Zeile beim ln können die
Nenner a noch weggelassen werden, da damit eine
Konstante unterdrückt wird.
Somit lautet eine zweite Fassung des Schlussresultates:
J = x/2*wurzel(x^2+a^2) + a^2 /2*ln [x + wurzel(x^2 + a^2)] + C2
C2: Integrationskonstante.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Peter
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 12:44: |
|
Hallo H.R. Moser,
vielen Dank für die Antwort. Bleibt nur noch die Frage, warum man die Substitution x = a sinh u gennommen hat......
Beste Grüße
Peter |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 17:06: |
|
Hi Peter,
Die verwendete Substitution entspricht der trigonometrischen
Substitution,welche man zum Beispiel beim Kreisintegral
anwendet, d.h. beim int [wurzel( r ^ 2 - x ^ 2 ) * dx] ;
mit der Substitution x = r * sin z kann jedenfalls der Wurzelterm
formal beseitigt werden.
So ist es auch beim Wurzelterm wurzel[x^2 + a^2]
Hier greift man zum Repertorium der hyperbolischen Funktionen,
es gilt ja mit x = a * sinh z :
x ^ 2 + a ^ 2 = a ^ 2 * (cosh z ) ^ 2 .
Aus diesem schönen Quadrat lässt sich schmerzlos die Wurzel ziehen
Noch eine Bemerkung
Wenn Du die gleichseitige Hyperbel oder Normalhyperbel
x ^ 2 - y ^ 2 = 1 parametrisieren willst, musst Du wegen der
Grundformel (1) x = cosh t , y = sinh t setzen, nicht umgekehrt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
|
